fo ift dadurch der Quadrant fo getheilt, dafs beide Stücke um fo viel verfchieden find, als das Stück, welches auf der am Theilungspunkte gezogenen Tangente vermittelft des Perpendikels aus dem Centro abgeschnitten wird. An diefe Theoreme, die zum Theil freylich schon bekannt waren, knüpfen fich mehrere Vergleichungen elliptischer Bogen; auch Beftimmungen von Bogen, die von der Hälfte, dem Drittel u. f. w. gegebener Bogen um eine algebraifch bestimmte Gröfse verfchieden find u. f. w. Bogen, die genau die Hälfte oder das Drittel des Quadranten find u. f. w. Aehnliche Vergleichungen finden für die Bogen der Hyperbel Statt.

Der Vf. geht nun zur Betrachtung einiger Integralformeln über, die fich auf unfere Transfcendenten zurückführen laffen, und die vorzüglich des wegen hier betrachtet werden, weil mit Hülfe einiger fchon von Euler gefundener Vergleichungen fich merkwürdige Folgerungen aus ihnen ableiten laffen. Die Reihen, welche der Vf. noch für die Bestimmung des vollständigen, von o bis ' genommenen Integrals d¢ √ (1 — c2 Sın2 4) giebt, wollen wir übergehen; feine Herleitungen derfelben aus Werthen, die felbft für eine erfte Approximation kaum hinzureichen scheinen, hat uns weniger befriedigt, als die übrigen Untersuchungen.

Aehnliche Betrachtungen stellt der Vf. nun auch über die dritte Klaffe unferer Transfcendenten an. Wir wollen fie vorbey laffen und dagegen einige Refultate mittheilen, die fich bequemer in der Kürze darstellen laffen. Die Betrachtungen über das Inte do gral welches bey gewiffem Wer✓ (1-c2 Sin2 )' the von è die Bogen der Lemnifcata darftellt, führen zu bequemeren Formeln, als dasjenige, wodurch die Bogen der Ellipfe ausgedrückt werden; wir müffen uns daher hier begnügen, anzugeben, wie der Vf zur Ausrechnung der Werthe jenes Integrals gelangt, und können über die Bogen der Ellipfe nur im Allgemeinen bemerken, dafs fie auf ziemlich gleiche Weife, jedoch mit Hilfe von Formeln, die einige Glieder mehr enthalten, dargestellt werden. Wenn wir uns unfre Function einmal auf und , c das andere Mal auf e' und ' bezogen denken, und die c' Q'

beiden letztern Gröfsen fo annehmen, dafs c

aber alle Mal durch Sin (20 — 4') = c' Sin ' gegeben fey: fo findet zwifchen den beiden Integralen folgende gegenfeitige Bestimmung Statt:

-=

1+c"

=c" Sin, und fo ferner, fo ilt

dp √(1-c2 Sin2 )

(1+

(I+c) (1+c"), (1+c"") +

2

2

2

do

√(1-c2 Sin2 )

und Sin (2p'-")

Mra.

do!" √(1-c"" Sin3 Q""") Diefe Folge von Werthen kann man immer weiter nach demfelben Gesetze fortsetzen, und da c' allemal kleiner als c, c" kleiner als c' u. f. w. wird, fo kömmt man endlich auf Werthe, die für einen verlangten Grad von Genauigkeit hinreichen, um do [n]

√ ( 1 − c [n] 2. Sin2 4 [»])

als anzufehen. Da man nun den Werth von fl, oder dasjenige in unferer Reihe, wo die eben erwähnte Gleichfetzung erlaubt ift, für jeden Werth von berechnen kann, fo ift das Integral bis zu diefem Werthe von fo genau, als es gefodert wird, anzugeben. So haben wir alfo Mittel in Händen, für jedes bestimmte c die Folge aller Werthe des Integrales √ (1— c2 Sin2 4) zu berechnen. Der Vf. giebt hier zuerft eine Tafel der vollständigen Werthe diefes Integrals (nämlich von - bis ) für alle Werthe von c. = Da c zwifchen o und 1 liegen mufs, fo ift c= Sin ♪ gefetzt und die Tafel geht alle Werthe von 9 von o bis 90° von Grad zu Grad durch. Eben die Tafel enthält auch die vollständigen Werthe der Integrale d¢ √ ( 1 − c2 Sin2 4), oder giebt die Länge des Quadranten aller Ellipfen an, deren Excentricitäten = Sin. 1°, = Sin. 2° u. f. w. find.

Die Betrachtungen, welche der Vf. über die zweyte und die dritte Klaffe unferer Transfcendenten anftellt, die Anwendungen, die er auf die Beftimmung der krummen Oberfläche des fchiefen Kegels, auf die Bestimmung der kürzeften Linien zwifchen zwey Punkten auf der Oberfläche des Sphäroids und die Beftimmung der Oberfläche des Sphäroids macht, müffen wir übergehen. Dafs hier viele dafs manche neue und fcharffinnig abgeleitete Auflö fchöne und lehrreiche Betrachtungen vorkommen, fungen gefunden werden, wird jeder fchon aus deu bisher Gefagten wohl vermuthen. Eine Reihe von Integralformeln, die fich auf diefe elliptifchen Transfcendenten zurückführen laffen, machen den Beschluss dieser Abtheilung.

Der Vf. hat aber feine Betrachtung diefer Functionen damit nicht geendigt, fondern liefert uns in dem zweyten Supplement Tafeln für die elliptifchen Transfcendenten, und Methoden, diefe Tafeln leich ter zu berechnen. Die Tafeln enthalten nun Folgen

S

do √(1-c2 Sin2 )

Diefe Logarithmen find bis auf 12 Decimalen berechnet. Der bequemern Rechnung wegen ift c = Sin 9 angenommen und die Tafel geht durch alle Werthe von 9, fo dafs beide Integrale für alle um 6 Min. verfchiedene Werthe von 9 aufgeführt werden. Taf. 2. Werthe der Function /dev (1- Sin2 ), (1—c2 für alle Werthe von von halben zu halben Gra den, wenn c= Sin 45° ift. Taf. 3. Die Sinus und ihre Logarithmen auf 15 Decimalen von Viertelgrad zu Viertelgrad. Tafel 4. Die Werthe von log: tang (45° +10) von halben zu halben Graden mit 12 Decimalen. Taf. 5. Die Logarithmen auf 19 De cimale berechnet, für alle ungeraden Zahlen von 1163 bis 1501, und für alle Primzahlen von 1501 bis Da, wo es nöthig ift, find diefen Tafeln 100007. die Differenzreihen bis zur vierten und fünften bey gefügt.

Zweyter Theil. Von den Euler fchen Integra len. Die Integrale, welche der Vf. hier mit Euler's Namen, als auf vorzügliche Weife durch ihn behandelt, auszeichnet, find) der von xo bis x = I xP-1dx genommene Werth des Integrals 'V (1 — x)" und 2) der zwifchen eben den Grenzen genommene

Werth des Integrals dx. (log)^-.

x

n

Einzig in den Fällen, wo entweder pn oder q=n, oder wo p+q=n, läfst fich der Werth des erften Integrals leicht angeben; in allen andern Fällen ift er transfcendent, und es kömmt nur darauf an, zu bestimmen, wie bey gleich bleibendem Werthe von ", und verfchieden angenommenen p und q

fchon von Euler angeftellten, Unterfuchungen hier durchzugehen, würde fast unmöglich feyn; wir be gnügen uns daher, zu bemerken, dafs mehrere hiemit verwandten Unterfuchungen, Summirungen merkwürdiger Reihen u. dgl. von dem Vf. mitge theilt werden. Für die Werthe des zweyten Inte grals theilt Hr. L. eine berechnete Tafel mit, wel che die von o bis x=1 genommenen Werthe

1

'des Logarithmen von dx. (log)" alle Werthe von a=1 bis a=2, nach den einzelleicht zeigen, dafs diefes, blofs von a abhangende, vollständige Integral, welches der Vf. durch ra be

Sdx. (log —)* ̄* enthält för

-nen Taufendtheilen fortfchreitend. Es läfst fich

zeichnet, für die um eins verfchiedenen Werthe von a fo bestimmt ift, dafs F(a+1)= a.ra wird, und dafs für a gleich einer ganzen Zahl

wird. Wir haben hier alfo eine Betrachtung, die ganz mit der der Krampfchen factoriellen oder Zahlenfacultäten zufammenfällt, deren Beftimmung be kanntlich, wenn a ein Brnch ift, nicht ohne Schwie rigkeit zu erhalten ist.

Ta=1.2.3.4..... (α-1)

Diese Function г fteht mit dem ersten jener beiden Eulerschen Integrale in einer fehr nahen Be ziehung, die hier näher nachgewiefen wird. Des Vfs. Bemühungen, die Werthe diefer Function auf eine möglichst leichte Weife auszurechnen, zu zei. gen, wie aus einigen derfelben andere leicht abgeleitet werden u. f. w. übergehen wir, um fo mehr, da diefe Unterfuchung nur für wenige unferer Lefer fo viel Intereffe, wie die Unterfuchungen des erften und dritten Theils haben möchten. Der ganze vierte Theil, welcher die erfte Hälfte des erften Supple ments ausmacht, ift eben dieser Unterfuchung ge widmet.

Todesfälle.

Am 22ften Januar starb der auch als Schriftsteller bekannte Med. Rath und Prof. Phil. Jof. Horfch zu Würzburg, wo er am 24ften Aug. 1772 geboren

wurde.

Am 23ften Jan. ftarb Konrad Schweizer, Pfarrer zu Birmenstorf, Kantons Zürich, geb. 1761. Er hat fich durch ein fchätzbares Wörterbuch zur Erklärung fremder Wörter und Redensarten bekannt gemacht, das eine zweyte Auflage erlebte.

In der Nacht zum 1ften Febr. ftarb zu Florenz Dr. Friedr. Rühs, Prof. der Gefchichte an der Universität zu Berlin, Mitglied der Königl. Akad. der Wissenschaf ten, Königl. Hiftoriograph, Ritter des Nordstern - Or. dens, an der Lungenfchwindfucht im 40ften J. feines Alter Seine Leiche wurde zu Livorno beerdigt. Er war, wie Hr. Dr. Rudolphi bey der Anzeige feines Todes fagt, von dem reinften Herzen, voll Liebe für das Gute, voll Hafs für das Schlechte; offen und wahr, von feltenen geiftigen Anlagen, von eifernem Fleils und daher im Befitz des reichsten Wiffens. Zu unfrer A. L. Z. hat er viel schätzbare Beyträge geliefert.

MATHEMATIK.

PARIS, b. Mad. Courcier: Exercices de calcul intégral, fur divers ordres de transcendantes et fur les quadratures, par A. M. Legendre u. f. w. (Beschluss der im vorigen Stick abgebrochenen Recension.)

Dritter

ritter Theil. Von den Quadraturen. Da der Gegenstand diefer Abtheilung zu den intereffanteften gehört (indem fo oft, wo die Integrationsmethoden und die vorhandenen Tafeln nicht ausreichen, Quadraturen uns aushelfen müffen), fo werden wir die hier abgehandelten Gegenftände etwas forgfältiger angeben. Es ist bekannt genug, dafs fXdx den Flächenraum angiebt, den eine über der Abfciffenlinie der X gezeichneten Curve, deren Ordinaten X find, umfchliefst. Diefer Raum läfst fich von xo his xa ziemlich nahe durch eine Reihe von Rechtecken darftellen, deren Grundlia und höher gleich den Werthen find, erhält, wenn man für x nach und nach

nien =

welche

n

=

I

n

I

n

a u. f. w. bis a ·a, 1. ∙a, 2/20 fetzt. Da aber diefer Näherungswerth fich doch erheblich von der Wahrheit entfernen kann, fo werden hier die Correctionsglieder, die nach den gera

den Potenzen von (a) fortgehen, alfo bald un

εξω

-e

I

n

bedeutend werden, wenna ziemlich klein ift, aufgefucht. Nach unserm Dafürhalten hätte die Entwickelung S. 310 noch gewonnen, wenn der Vf. den Ausdruck blofs nach Angabe des polynomischen Lehrfatzes entwickelt hätte. Der Vf. verweilt dann noch bey derjenigen Quadraturmethode, wo man das zwifchen drey nach einander folgenden Ordinaten liegende Stück der Curve als eine durch die drey Punkte gehende Parabel anfieht; eine Methode, die den Lefern deutscher Bücher vielleicht am beften aus Eytelwein's Statik (§. 126) bekannt. ift, die aber hier durch Angabe der noch nöthigen Correction, noch brauchbarer wird. Hr. L. macht auf die Schwierigkeiten aufmerkfam, die bey den Correctionsformeln eintreten, wenn die Werthe von

wäre. In diefem Falle ift es bequemer, von der bekannten einfachen Formel XEA, Cof(I + I w)" auszugehen und die Correction & zu fuchen, welche man hier noch beyfügen müfste. Das Taylorsche Theorem leitet zu einem Werthe für E, deffen erfte Glieder ohne bedeutende Schwierigkeit beftimmt. Das Gefetz der Reihe findet der Vf. dadurch, dafs er die leichter ausfallende Entwicklung für seme-ema fucht, und nun, da die Form jener Reihe in fo weit als fie von der veränderlichen, Gröfse abhängt, fchon bekannt ift, die in diefem befondern Falle gefundenen beftändigen Coefficienten auch in der allgemeinen Reihe für anwendet. Diefe allgemeinen Betrachtungen wendet Hr. L. dann auf die balliftifche Curve an. Sie gehört, wenn man. fchwindigkeit proportional annimmt, zu denen, deden Widerftand der Luft dem Quadraten der Geren Bogen durch die Tangente des Richtungswinkels am Ende des veränderlichen Bogens angegeben wird. Es wird hier nun gezeigt, wie man durch eine gar nicht lange Rechnung die Stelle des höchften Punktes, den Ort, wo die Kugel wieder in die Horizotale des Anfangspunktes eintrifft und den Winkel, unter welchem dort ihre Richtung gegen den Horizont geneigt ift, finden kann, alfo alle Beftimmung erhält, die man gewöhnlich nur zu wiffen fodert.

Um aber die Unterfuchung noch vollständiger auszuführen, ftellt der Vf. noch eine Betrachtung über die Gestalt der Curve im Allgemeinen an. Es war fchon bekannt, dass diese zwey Afymptoten hat, eine, welche den vom Anfangspunkte rückwärts liegenden Aft begrenzt, und eine verticale Afymptote, der fich die im herabgehenden Afte unendlich fort