une circonférence dont le rayon est r; donc la surface engendrée, ou l'aire du cylindre 2 rh. Comme le rectangle a son centre de gravité à l'intersection G des deux diagonales, le volume du cylindre est AC'x CD x cir. CD=ahr2. Enfin, le triangle rectangle ABH, en tournant autour Fig. 37. du côté AB engendre un cône; faisons AH—a, BH=r, et AB h. Comme le centre de gravité de AH est au KF: - r; .... Ces résultats, déja connus, ne sont mis ici que pour mieux développer la méthode centrobarique; on pourrait d'ailleurs l'appliquer également au cône tronqué, à la sphère, etc. 82. On pourra donc trouver la surface engendrée par la révolution d'une courbe donnée ou le volume engendré par celle de son aire, lorsqu'on connoîtra le centre de gravité de la courbe ou de l'aire génératrice; ce qui sera facile à trouver par les formules précédentes, toutes les fois que la courbe sera soumise à une loi donnée par une équation. Si cette courbe ne faisoit pas une révolution entière sur son axe, il seroit aisé de trouver encore l'aire ou le volume engendré, car on a évidemment cette analogie : l'aire ou le volume engendré par une révolution entière est à une circonférence quelconque, comme l'aire ou le volume engendré par une portion de révolution, est à l'arc de cette circonférence qui lui sert de mesure angulaire. Donc l'aire ou le volume engendré par une révolution entière, ou par une portion de révolution, est égal au produit du chemin que fait le centre de gravité par la courbe ou l'aire géné ratrice. un axe, 83. Réciproquement aussi, on obtient la circonférence décrite par le centre de gravité d'un arc courbe dans sa révolution autour d'un axe, en divisant la surface qu'engendre cet arc par sa longueur même : donc pour avoir la distance du centre de gravité d'un arc il faut le faire tourner autour de cet axe, et diviser la surface qu'il engendre, par la circonférence qui auroit pour rayon la longueur de cet arc; ce théorême peut servir dans un grand nombre de cas à trouver le centre de gravité d'un arc. Par exemple, pour trouver le centre de gravité de l'arc Fig. 33. MAM', on le fera tourner autour de Cy perpendiculaire au rayon AC a qui divise cet arc en deux parties égales; comme la surface engendrée par l'arc sera une zône sphérique, elle sera = 2x a. MM': en divisant cette valeur par la circonférence qui a MAM' pour rayon, ou par 23. MAM', on a a. MM' MAM' pour la distance X du centre cherché à Cr. Si l'arc est la demi-circonférence, s'accorde avec ce qu'on a vu (66). De même en divisant le solide engendré dans la révolution d'une aire autour d'un axe, par cette aire et par 27, on aura la distance du centre de gravité de cette aire à l'axe. Fig 29. Ainsi ABDC en tournant autour de BD engendre un cylindre dont le volume est arh; l'aire ABDC=hr; en divisant donc r2h par rh x 2% " on a r pour la distance. du centre de gravité de ABCD à la ligne BD. On auroit de même pour la distance de ce point à la ligne CD. Voyez à cet égard un mémoire de Varignon, inséré parmi ceux de l'Académie, pour l'année 1714. CHAPITRE III. DES MACHINES. par des * 84. O N appelle Machines des corps retenus obstacles, tels que des points ou des axes fixes, et à l'aide desquels les forces agissent les unes contre les autres. L'industrie et le besoin ont produit de concert ces inventions mécaniques; on en dístingue de simples et de composées. Il n'y a que trois machines simples, les Cordes, le Plan incliné et le Levier : il ne s'agit pour former des machines composées que de réunir en un même systême plusieurs machines simples en les faisant communiquer entre elles. Le but essentiel d'une machine est de changer la grandeur et la direction des forces, de sorte que tout ce qu'on doit dire des machines n'est qu'une suite d'applications trèssimples des propositions démontrées précédemment. Nous allons traiter séparément de chaque machine sim- ★ ple, et des machines composées les plus ordinaires, en faisant d'abord abstraction des obstacles qui proviennent de la nature des matières qu'on y emploie et de leur construction, tels que le frottement, la roideur des cordes, etc., nous réservant d'y avoir égard par la suite. * * I. Des Cordes. 85. Les CORDES sont assez connues pour que nous nous dispensions de nous étendre sur leur usage: dans ce que nous allons dire, nous les considérerons comme parfaitement flexibles, sans pesanteur, et réduites à leur axe, à moins que nous n'avertissions expressément du contraire. On nomme aussi les cordes des Machines Funiculaires. Nous appellerons Tension d'un cordon la force qui agit à l'une de ses extrémités quand l'autre est fixe : lorsqu'on a deux puissances égales et opposées, appliquées à un cordon, l'équilibre a lieu, on peut regarder l'une des extrémités comme fixe; la tension du cordon est l'une des forces qui agissent sur ce cordon. Mais si l'équilibre n'a pas lieu, ce qui arrive lorsque les deux puissances sont inégales, la tension est la plus petite des deux forces : car l'effet de la plus grande est d'anéantir la plus petite, et de l'entraîner dans le sens de sa propre direction comme le feroit une force égale à l'excès de l'une sur l'autre : or cette dernière partie de l'effet ne peut contribuer à la tension, qui sera la même que s'il n'y avoit que la plus petite des deux forces qui agît. 85. Soient trois forces P, Q et R, sollicitant un point Fig matériel D, à l'aide de trois cordes AD, CD, BD, unies par un nœud en D: comme on considère les cordes comme inextensibles, lorsque les forces se servent de cordons pour transmettre leur action, elles doivent tirer ccs cordons afin de les tendre; ainsi ils sont assimilables à des verges rigides, de sorte qu'on peut y appliquer les puissances en un point quelconque (13) de leur direction. Il est donc visible qu'il n'y aura équilibre entre les forces P, Q, R, qu'autant que la proposition (18,I) aura lieu ; ainsi le théorême du parallelogramme des forces, et toutes les vérités qui s'y rapportent reçoivent ici leur application immédiate. En général, quelque nombre de forces qu'on considère agissant à l'aide de cordons sur un point matériel, les conditions de l'équilibre, ou la résultante, seront données, savoir: par les valeurs (F) ou (B, C) si les forces sont disposées dans le même plan, et par les expressions (J) ou (H) si elles sont dans des plans différens. 87. Mais lorsque toutes les puissances ne sont pas réu- ★ nies en un même noeud, alors le cordon qui transmet leur action mutuelle des unes aux autres, prend la forme d'un polygone qu'on appelle Polygone Funiculaire : portons notre attention sur ce systême remarquable, et supposons d'abord que toutes les forces sont dans un même plan. Ainsi soit P'M'M"M""... ... le polygone en ques- * tion, et P', P", P|||| des puissances faisant avec une Fig. 41. droite quelconque AX menée dans leur plan, des angles a', a".... Nommons a′, a",.... les angles que forment les directions des cordons avec cette même droite; et ,,..... les tensions respectives des cordons P'M' M'M", M"M".... Cela posé, puisque l'équilibre a lieu dans ce systême, il * faut qu'il existe dans chaque portion du polygone séparément; que P', P" et " soient en équilibre autour du noeud M', aussi bien que t", Pr" et " autour du nœud M", Ainsi on aura d'après les équations (F), pour l'équilibre autour du nœud M' ... etc. P' cos +P" cos a"+1" cos a" — o, ì P' sin a' -- P" sin a"+t" sin a" =o. Observons d'ailleurs qu'on devra faire précéder ces divers termes du signe indiqué par le sens suivant lequel chaque |