on fera successivement a égal à 1 et à 2, et retranchant du second résultat la moitié du premier, puis réunissant en une seule les deux intégrales qui ont (1+F)' au dénominateur et réduisant, on obtiendra Cela posé pour avoir le volume qui est en dessus du plan xy, il faut prendre l'intégrale depuis la plus petite valeur de y jusqu'à la plus grande : on les trouve par la théorie connue, et z=o donne y=± br C On intégrera donc depuis cy=— bx jusqu'à cy=+ bx. Or la et to. Ces deux hypothèses réduisent à zéro les deux premiers termes de notre intégrale; la tangente qui entre dans le troisième est infinie dans un cas et nulle dans on intègre de nouveau depuis xo, jusqu'à x = c et on double pour avoir le volume total du corps, qu'on trouve ainsi fzdxdy=abc #; c'est comme on voit le produit de l'aire elliptique du cintre, ou ab, par la moitié de la hauteur c. Pour avoir la seconde intégrale de xzdxdy il faudra de même intégrer relativement à y séul; ce qui se réduit à multiplier par x le résultat ci-dessus : donc ab xx2 dx xdxfzdy = 2 d'où ffxzdxdy = } abπc2, 2 C et enfin X= c; résultat simple et remarquable. 79. Appliquons à un exemple ce qui a été dit (52,4°.) Fig. 33. pour trouver le centre de gravité d'un systême de corps. Cherchons celui du secteur sphérique engendré par le secteur circulaire MAC en tournant autour de AC. Ce volume est composé d'un segment sphérique et d'un cône, soient I et L leurs centres de gravité respectifs; on a vu (77) qu'en désignant AP par x, et AC par a, on a 'Al= 8a-3x 12a-4x xx, et PL = } • CP = ¦ ( a − x ). Mais comme les positions de I et de L ne sont pas rapportées au même point.A, on remplace la seconde de ces valeurs par 'AL— AP + PL = x + 1 • ( a − x ) = 4 3x+a 4 Cela posé, concevons les volumes de ces deux corps réunis en leurs centres de gravité I et L: on connoît ces volumes par la géométrie, et on sait que En prenant les momens par rapport au point A, on a pour Enfin divisant la somme des momens par la somme des masses, qui est le volume du secteur, on a (56) pour la distance du point A au centre de gravité cherché, en ôtant le facteur commun ž. πx, 1 x2(8a—3x)+ ¦ (2 a—x) ( a −x) (3x+a) X= et en réduisant 2 a2 i X=(2a+3x) ce qu'il s'agissoit de trouver. IV. Méthode de Guldin. 80. La méthode Centrobarique (*), découverte par Pappus, est aussi appelée règle de Guldin, parce que ce savant en a fait des applications utiles: elle consiste en un procédé fort simple, pour trouver l'aire ou le volume engendré par la révolution d'une courbe quelconque, quand on connoît l'équation, et le centre de gravité de la ligne ou de l'aire génératrice : voici en quoi consiste cette méthode. On peut écrire les secondes équations (D') et (E') ainsi qu'il suit Y = √2 = yds : 27S La première de ces deux équations exprime la coordonnée, dans le sens de l'axe desy, du centre de gravité d'une ligne elle donne 2 Y.s=f2xyds. Or 2% Y est la circonférence dont Y est le rayon; c'est celle que décriroit le centre de gravité autour de l'axe des x si on faisoit tourner la courbe sur cet axe : de plus f2yds est l'expression de l'aire de la surface qu'engendreroit l'arc de courbe S par cette révolution : donc la surface de révolution engendrée par une courbe donnée autour d'un axe, est égale au produit de la longueur de l'arc générateur par la circonférence décrite par son centre de gravité. La seconde des deux formules ci-dessus exprime la coordonnée dans le sens des y du centre de gravité de l'aire d'une courbe: elle donne 2 Y. fydx=fry'dx. Or si on fait tourner la courbe autour de l'axe des l'aire dont l'expression est fydx, engendrera un corps dont le volume (*) Kirga, centre; Bass, poids. Fig. 15. sera fydx; et le centre de gravité de l'aire décrira une circonférence = 2% Y. Donc le corps qu'une courbe engendre par sa révolution autour d'un axe, a pour volume le produit de l'aire génératrice, par la circonférence que décrit son centre de gravité. Cette dernière proposition a lieu même lorsque l'aire génératrice est comprise entre deux courbes, ou entre deux branches d'une même courbe. En effet, la seconde formule (F') donne 2x Y x f(y—y') dx =ƒ«(y2 —y12)dx, qui conduit à la même conséquence, puisque (y-') dx est l'aire génératrice, et que fa(y2—y') dx est l'expression du volume engendré par la révolution de cette aire. 81. Par exemple, on peut regarder l'aire d'un cercle comme engendrée par le mouvement de son rayon autour du centre; la ligne génératrice est le rayon R dont le centre de gravité est au milieu : la ligne décrite par ce centre est une circonférence dont le rayon est ¦ R; ainsi elle est = R, et la surface du cercle est » R2, ce qu'on savoit d'ailleurs. ...... Si la circonférence FDBE tourne autour de l'axe Ax, en faisant le rayon MB = a, et la distance MH du centre à l'axe b, on a pour l'aire qu'elle décrit, = cir. a x cir. b=4′′3ab : et comme cette valeur est double de la voûte annulaire décrite par la demi-circonférence DEF, l'aire de cette voûte est 2 'ab. De même le volume engendré par l'aire du cercle est.... = cercle MB x cir. MH➡ 2 «3a2b. Si a=b, c'est-à-dire si le cercle tourne autour de la tangente en F, l'aire décrite = (2′′ a)2 = le carré qui a pour côté la circonférence a; le volume — 2 % 2a3. Fig 29. De même, si le rectangle ABDC tourne autour du côté BD, il engendrera un cylindre: soit AC=h, CD=r, le côté AC a son centre de gravité au milieu I, qui décrit |