3o. Un corps pesant est en équilibre, si son centre de gravité est soutenu.

4°. Lorsqu'on veut trouver le centre de gravité d'un systême de corps, on peut supposer la masse de chacun d'eux concentrée en son centre de gravité propre, puisque le poids de chaque corps est une force proportionnelle à la masse et qui passe par ce centre : par là, on n'aura plus à considérer qu'un systême de points pesans.

5o. Pour trouver le centre de gravité mécaniquement, ⋆ il suffit de suspendre successivement le corps dans deux positions d'équilibre, à l'aide de fils verticaux appliqués tour à tour en deux points différens de ce corps; le lieu d'intersection de ces deux fils sera le centre cherché.

53. Nous disons qu'un corps est Symétrique par rapport ✩ à un plan, lorsque ses molécules sont deux à deux à la même distance de ce plan.

Concevons un corps homogène, symétrique par rapport * à un plan: si l'on prend deux molécules qui soient à la même distance de ce plar, leurs momens seront égaux et de signes contraires; et on peut en dire autant de toutes les molécules prises deux à deux. (Voyez les notes pages 69 et 71.) Ainsi la résultante du systême sera dans ce plan (36), et par conséquent le centre de gravité y sera aussi : donc le centre de gravité de tout corps homogène, symétrique par rapport à un plan, est situé dans ce plan.

Nous dirons d'un corps qu'il est symétrique par rapport ✩ à un axe, lorsqu'il le sera relativement à deux plans quelconques qu'on feroit passer par cet axe. Le centre de gravité de tout corps homogène, symétrique par rapport à un axe, est situé sur cet axe, puisqu'il doit se trouver dans chacun de ces deux plans. Le mot de symétrique n'est employé que pour exprimer d'une manière abrégée que la somme des momens est nulle. Si donc un corps

est symétrique par rapport à deux axes, le centre de gravité est à leur intersection, qui est ce qu'on nomme le Centre de figure: ainsi celui d'une droite est en son milieu, celui d'un cercle, d'une circonférence, d'un polygone régulier, etc. est au centre; celui d'un cylindre est au milieu de son axe; etc.

54. Nous avons vu que les valeurs (P page 42) déterminent la position du centre des forces parallèles, en donnant les trois coordonnées de ce point. Faisons-leur prendre la forme convenable pour qu'elles donnent celles du centre de gravité. Les forces P', P"....etc. sont ici les actions que la pesanteur exerce sur chaque molécule, actions proportionnelles aux masses sur lesquelles elles agissent, d'après ce qu'on a vu (50). Soient m', m"...les masses des molécules sollicitées par la pesanteur; x', y' et z' les trois coordonnées de m'; x",y", z" celles de m", etc. on a P' gm', P" gm", etc. Les valeurs (P) donnent les coordonnées X, Y et Zdu centre de gravité

donc

pour

Ces résultats sont indépendans de la force avec laquelle la gravité exerce son action. C'est cette raison qui a engagé Euler à préférer le nom de Centre d'inertie à celui de centre de gravité.

On peut écrire ces formules d'une manière concentrée qui est fort commode. On observe que le numérateur de la valeur de X, est une somme de termes de même forme que mx, en affectant le premier terme d'un accent, le second

de deux, etc..... On remplace m'x'+m"x" + etc. par Σ.(mx); pareillement m'y'+m"y" + etc. par Σ. (my), m'z'+m"z" + etc. par E. (mz), et enfin m'+m"+etc. ou la masse entière du systême, par E. (m). Par là, on a pour les coordonnées du centre de gravité les formules

équations dans lesquelles le caractère Σ indique une somme de termes de même forme, ou une intégrale finie, lorsque le nombre des points est lui-même fini; et une véritable intégrale de quantités infinitésimales, lorsque le nombre des points est infini. C'est ce qui sera bientôt éclairci.

55. Il arrive quelquefois qu'on prend dans un systême le centre de gravité pour origine des coordonnées; alors on a X=0, Yo, Z=o; on conclut de là que

m'x' + m"x" + etc. o ou Σ.(mx)=

m'y' +m"y" + etc. = o ou Σ.(my) = o

m' z'+m" z" + etc. o ou Σ. (mz) = o.

..........()

Si le centre de gravité étoit dans le plan yz, la première de ces équations auroit seule lieu; s'il étoit dans l'axe des z, on auroit à-la-fois les deux premières.

56. Les équations (B', A') servent à faire connoître les trois coordonnées du centre de gravité d'un systême de points, ou d'un corps continu, et par conséquent la distance de ce centre aux plans respectifs des yz, des xz et des xy. On peut remarquer que ces équations sont conformes au théorême des momens (36); car la première, par exemple, équivaut à (m'+m" + etc.) x X=m' x'+m"x"+etc. Or, (m' +m" + etc.) x X est le moment par rapport au plan yz, du corps entier considéré comme concentré en son centre de gravité; m'x', m"x", etc. sont les momens

Fig. 24.

des molécules par rapport au même plan. Donc pour avoir la distance du centre de gravité d'un corps à un plan, il faut multiplier un de ses élémens par sa distance à ce plan, et intégrer dans toute l'étendue du corps; on aura la somme des momens de ces élémens : il faudra ensuite diviser par la masse entière du corps.

On observera que si le systême est homogène, on pourra remplacer les masses par leurs volumes, puisqu'elles leur sont proportionnelles (51); et que s'il est composé de molécules réunies dans un même plan, il suffira de prendre les momens par rapport à des axes tracés dans ce plan.

II. Des centres de gravité des corps terminés par des droites ou des plans.

57. Trouver le centre de gravité du contour d'un polygone rectiligne quelconque.

* Supposons le poids de chacun des côtés du polygone ABCDE concentré en son centre de gravité qui est en son milieu G', G".......... et cherchons la résultante, soit par le principe de la composition des forces (30), soit par celui des momens (56).

1o. Si on se sert de la théorie de la composition des forces, on trouvera le centre I de gravité des deux droites AB et BC à l'aide des équations (L), dans lesquelles on fera P et Q proportionnels à AB et BC. On aura de la même manière le centre de gravité H du systême des trois côtés AB, BC, CD, en supposant qu'il y a en I et G", des forces parallèles et respectivement proportionnelles à AB+ BC, et CD; ainsi de suite.

2. Si on veut employer le principe des momens, on mènera dans le plan du polygone deux axes quelconques Fx, Fr perpendiculaires entre eux : on désignera par x',y'; ","; etc. les distances des centres de gravité de chacun

des côtés à ces deux axes, et par c', c"... les longueurs respectives de ces côtés; c'est-à-dire qu'on fera

x'= P'F, r'=P'G', c' = AB; etc.

La position de la résultante, par rapport à chacun des deux axes, sera déterminée par les équations (R, 36)

Ces valeurs donnent le point O, qui est le centre de gravité demandé.

58. Trouver le centre de gravité de l'aire d'un triangle ⋆ rectiligne.

Fig. 25.

Soit le triangle ABC; il est clair que si on divise le' * côté AB, au point D, en deux parties égales, la droite CD coupera la surface du triangle en deux parties symétriques (*). On peut en dire autant de la droite AE, menée au point E, milieu de CB donc le centre de gravité est à-la-fois sur les droites AE et CD; ainsi ce centre est à leur intersection G. :

(*) La symétrie dont il est question ici, consiste en ce que la Fig. 26. somme des momens de toutes les molécules qui composent le triangle est nulle par rapport à CD. En effet, soit une de ces molécules en m: menons A'B' parallèle à AB, il y aura de l'autre côté de CD une autre molécule m à la même distance du point d'intersection de A'B' avec CD; et par conséquent m et m' seront à la même distance de CD. Si donc on prend CD pour l'axe des momens, les molécules m et m' auront des momens égaux et des signes contraires; et comme O est le milieu de A'B', la même chose aura lieu pour toutes les molécules de cette ligne, ou pour une autre parallèle quelconque à AB; ce qui démontre que la somme des momens des molécules est nulle; donc le centre de gravité est sur CD (36).