par l'origine. Or on a vu, no. 45, que a', b'; a", b".... désignent les distances de ces forces Z', Z".... aux plans des yz et des xz: donc les momens de leur résultante (36) sont Z'a' +Ż"a" + etc. et Z'b'+Z"b" + etc. Ces sommes devront donc être nulles pour que la résultante soit dans ces deux plans. Ainsi, outre la condition du no. précédent, on a encore deux autres équations. En les mettant sous la forme convenable, on voit que pour qu'un corps solide soit en équilibre autour de l'origine fixe, il faut que les trois équations (Y) aient lieu. On voit aussi par là que lorsque l'équilibre a lieu autour de trois axes fixes rectangulaires, il auroit lieu aussi par rapport à un autre axe quelconque passant par le même point.

On désigne les équations (X), (Y) par des dénomina tions tirées de leur nature; ainsi les premières sont nommées équations de translation, comme si elles étoient destinées à indiquer que le corps n'est point animé d'un mouyement de translation on appelle les autres équations de rotation, parce qu'elles semblent employées à exprimer que le corps n'éprouve point de rotation.

En rapprochant ce théorême de ce qu'on a vu ci dessus, on remarque que pour qu'un systême soit en équilibre autour d'un point fixe, il doit remplir les trois conditions auxquelles il seroit assujetti, s'il y avoit trois axes fixes rectangulaires passant par ce point. Si le systême est libre, il faut en outre que si on transporte les forces parallèlement à elles-mêmes pour les appliquer toutes en un même point, l'équilibre ait encore lieu dans

cet état.

47. Supposons qu'il n'y ait pas équilibre dans le systême, et que cependant il n'y ait qu'une seule résultante R; c'est-à-dire qu'en y introduisant une force égale et directement opposée à cette résultante, l'équilibre ait

lieu. Soient X, Y et Z les composantes de R, les six équations (X) et (Y) devront donc être satisfaites lorsqu'on y comprendra les trois forces X, Y et-Z. Les trois premières équations, traitées comme à la page 26, conduisent aux valeurs (H) qui déterminent encore ici la grandeur et la direction de la résultante : ainsi il ne s'agit plus que d'employer les trois équations (V) à la recherche des coordonnées x, y et z de son point d'application. Pour abréger, faisons

·L= (X'y' — Y'x') + etc.

*

M (Z'x'X'z') + etc.

N=(Y'z'Z'y') + etc.

X, Y, Z, L, M et N représenteront des grandeurs connues et les équations (Y) donneront

XyYxL, Zx-Xz M, Yz-Zy=N;

ce qui détermine x, y et z. Si on élimine deux de ces quantités, la troisième disparoît d'elle-même : ainsi en multipliant ces équations respectives par Z, Y et X, et ajoutant, on a

LZ+MY+NX=0

équation sans laquelle les trois équations précédentes ne peuvent avoir lieu à-la-fois, et qui exprime une condition entre les données du problême pour que les forces soient réductibles à une seule.

Il suit de là qu'un systéme de forces dans l'espace ne peut en général étre mis en équilibre avec une seule force; mais que lorsque l'équation de condition LZ+ MY + NX = o est satisfaite, il y a en effet une résultante unique qui est connue, car les équations (H),

pag. 19, en donnent la grandeur et la direction, et on peut prendre pour son point d'application l'un quelconque de ceux de la droite qui a pour équations XyYx = L, etc.

Par exemple, lorsqu'on a un systême de forces parallèles, elles font avec les axes les mênies angles, et a a' a"=etc. On obtient donc

L=(P'y'+P"y"+etc.) cosa—(P'x'+P"x"+etc.) cos

On auroit de même M et N; majs comme d'ailleurs X= R cosa, Y= R cos 6, Z= R cosy, l'équation de condition est satisfaite. Ainsi un systême de forces parallèles a toujours une résultante unique, excepté lorsque X=0, Yo, Zo ( Voy. n°. 32).

Mais si l'équation de condition n'est pas satisfaite, alors il faudra introduire deux forces pour établir l'équilibre en effet, concevons en un point quelconque du systême une force dont les composantes X, Yet Z soient prises telles que l'équation de condition ait lieu, ce qui peut se faire d'une infinité de manières, alors il n'y aura qu'une résultante qu'on déterminera aisément d'après ce qui vient d'être dit. On connoîtra donc par là les deux forces qui seroient propres à produire l'équilibre. Ainsi dans un systéme de forces agissant sur un corps solide, ila deux résultantes qui ne peuvent en général se composer en une seule. On vient d'ailleurs de voir qu'il est facile d'assigner ces résultantes, et que le problême est indéterminé.

il fau

Si le corps étoit fixé à un point ou à un axe droit introduire dans le systême une force qui satisfit aux trois équations (Y) dans le premier cas, et à l'équation (Z) dans le second. Il est évident que le problême est indéterminé, et qu'on peut disposer des quantités

qui servent à assigner la grandeur, la direction et la position de cette force, excepté trois d'entre elles s'il s'agit d'un point fixe, et excepté une s'il s'agit d'un axe. On peut donc exiger de nouvelles relations entre ces indéterminées, telles que de produire une pression qui satisfasse à certaines conditions, etc.... Mais nous ne nous arrêterons point ici pour ne pas nous écarter de notre objet, d'autant que la solution de ces problêmes est implicitement renfermée dans les principes généraux de ce Traité.

VI. Des pressions sur les points et axes fixes.

48. Pour que la résultante d'un systême soit détruite, il faut qu'elle passe par un axe ou un point fixe : mais il est très-important de connoître quelle pression cet axe ou ce point éprouve; car s'il n'est pas capable d'une résistance indéfinie, l'obstacle n'est pas suffisant pour détruire l'action des forces. Or cette PRESSION est visiblement égale et opposée à la force qui devroit étre employée pour produire l'équilibre dans le systéme, sans le secours de l'axe ou du point fixe, puisque la réaction est toujours égale à l'action; si donc on cherche la résultante du systême, le point où elle est appliquée doit éprouver un effort de même grandeur et de même direction qu'elle. Ainsi, d'après ce qui a été dit précédemment, la recherche de la pression exercée sur un point fixe n'a aucune difficulté, puisqu'elle est réduite à celle de la résultante.

Quand il s'agit d'un axe fixe, il arrive souvent qu'il est retenu en deux points, qu'on appelle Tourillons, dans des colliers ou crapaudines : alors il est beaucoup moins intéressant de connoître la pression qu'éprouve le point où la résultante rencontre l'axe, que l'effort qui a lieu Fig. 22. sur les points d'appui. Soient donc EF l'axe fixe; A, B les deux colliers; RM la résultante. Pour trouver la

pression exercée en A et en B, il ne s'agit que de décomposer la force R en deux autres appliquées en ces points. Ce problême a été résolu no. 31, et les équations (M) en donnent la solution.

=r.

Dans ce que nous avons dit n°. 45, lorsqu'il s'agissoit de l'équilibre autour d'un axe fixe, nous avons omis la force qui étoit parallèle à cet axe; mais lorsqu'on veut déterminer les pressions qu'il éprouve, on ne peut se dispenser d'y avoir égard: cherchons donc l'effet que Fig. 23. produit sur un axe AB, fixe en A et en B, la force R qui lui est parallèle, et qui en est distante de AC=BD= Soit ABa, et supposons que la force R agit de C vers D. Appliquons en A deux forces M et Q dans les directions AM et AQ; et au point B, la force S, dirigée suivant BS: déterminons les trois forces M, Q et S de manière à produire l'équilibre dans le systême CABD, et nous connoîtrons les efforts exercés en A et en B (*). Or si on prend A pour origine, AB pour axe des x, AC pour axe des y, les équations d'équilibre (U) deviennent ici

R—M=0, S—Q=0, Rr· Sa=0.

La première de ces valeurs fait voir que le corps est sollicité dans le sens de AB, comme si la puissance R agissoit suivant cette droite même les deux autres

Rr

donnent SQ= ; ainsi la force R tend à faire

a

(*) Les forces M, Q et S sont disposées aux points fixes. A et B de la manière la plus générale que le systême puisse comporter. Quant aux sens dans lesquels on dirige les actions de ces forces, ils sont, il est vrai, présupposés; mais si on leur eût donné tout autre direction, le calcul même auroit rectific les erreurs.