et comme l'équation (H) a lieu, elle se change en 1 C'est à cette équation qu'il faut rapporter le mouvement des ondes et le son; mais il faut employer en outre (E). Pour donner un exemple de l'usage de ces équations, cherchons le mouvement d'une ligne sonore horisontale; l'air est mu dans un tube dont la direction est celle des x: vet v sont nuls; il en cst de même q, lorsqu'on fait abstraction de la gravité. Soit D' la densité de l'air dans l'état de repos ; l'élasticité la changera en D= D' (1+s), par l'effet du mouvement, s étant d'ailleurs très-petit: de plus, a2 étant une constante, on a paaD, d'où............ = a2.log(1+s); (K) et (E) deviennent donc de ( =a2. do do dt da Q dx2 tirée de la première, nous aurons dont l'intégrale a été trouvée p. 382. Nous bornerons ici cette théorie, en renvoyant aux Mémoires de Lagrange et Laplace, et à la Mécanique analytique, , p. 487 et 503; nous pensons que le peu que nous avons dit ici sur cette matière si délicate rendra plus facile l'intelligence de ces excellens ouvrages. Fin de l'Hydrodynamique. CALCUL CALCUL DES VARIATIONS. CBT Ouvrage devant servir d'étude préliminaire aux traités de Mécanique transcendante, nous avons jugé utile de mettre à la portée des étudians le calcul des variations qui y est d'un usage important et général. Les problêmes des Is périmètres avoient déja été résolus par divers géomètres avant la découverte du calcul des variations: mais les procédés dont ils se servoient ne formoient pas un corps de doctrine, et chacun de ces problêmes n'étoit. résolu que par une méthode qui lui étoit particulière, et par des artifices d'analyse souvent très-détournés. (Voyez. pag. 280.) Il appartenoit au célèbre La Grange de ramener toutes les solutions à une méthode unique, marche uniforme. C'est sur-tout dans la Mécanique transcendante où elle joue un rôle important, et on peut même regarder cette science comme le triomphe de ce genre de considérations. Voici en quoi elle consiste. à une Etant donnée une fonction Z de plusieurs variables x, y...... on peut se proposer de la faire jouir de diverses propriétés (telle que d'être un maximum, ou toute autre), soit en assignant à ces variables des valeurs numériques, soit en établissant des relations entre ces variables et les liant par des équations. Soit, par exemple,. Z= F(x, y, r', ".....); les quantités r', yello.... dy day désignent ici les coefficiens différentiels dx dx ce qui suppose que x et y sont liés par une dépendance mutuelle, telle que y=x. Si cette équation est donnée, on en déduit y', y"... en fonction de x, et substituant, Z devient = fx. Parmi toutes les valeurs qu'on peut attribuer à x, on peut déterminer, par les règles connues du calcul différentiel, celles qui rendent fr un maximum ou un minimum. Mais si l'équation y=x n'est point donnée, alors en prenant successivement pour x différentes formes, la fonction Z=fr prendra elle-même différentes expressions en x, et on peut se proposer d'assigner à qx une forme telle que Z soit plus grande ou plus petite que pour toute autre forme de ox, quelle. que soit d'ailleurs la valeur numérique de x. Cette dernière espèce de problême appartient au calcul des variations. Il s'en faut de beaucoup qu'il se borne à la théorie des maxima et minima; mais nous nous contenterons de traiter cette matière, parce qu'elle suffit pour l'intelligence complette de ce calcul. N'oublions pas toutefois que dans ce qui va être dit les variables x et y ne sont pas indépendantes; mais seulement que l'équation J ox qui les lie entre elles est inconnue; et qu'on ne la suppose donnée que pour faciliter la résolution du problême. Mettons xi pour x et + k pour y dans..... Z= F(x,J,J', y".....), Z deviendra Z' = F(x+i, y + k, y' + k', y'" + k" .......... ). .... i et k sont deux fonctions de x, dont l'une est arbitraire, et dont l'autre en dépend en vertu de l'équation y=qxi', i".... sont pris ici dans la même signification que ',".... D'après les principes connus, le théorême de Taylor ayant lieu ( Calcul. diff. élém, de Lacroix, 121, 38), soit lorsque les quantités x, y, i, k...... "De sorte qu'on peut regarder x, r, r', y".... comme autant de variables indépendantes, en tant qu'il ne s'agit que de trouver ce développement. Cela posé, la nature de la question exige que l'équation y=x ait été déterminée de manière que, quelle que soit la valeur de x, on ait toujours Z'>Z, ou Z'<Z; en raisonnant comme dans la théorie des maxima et minima ordinaires, on voit qu'il faut que les termes du premier ordre soient nuls, et qu'on ait dz i. +k. +k. +k". + etc. = 0, dx dz dz dyl dZ dyll ... Comme l'une des deux quantités ket i est une fonction arbitraire de on peut supposer k=a+b(x-X) + 1 c (x −X)2 + etc., X, a, b, c... étant quelconques: or comme cette équation et ses différentielles doivent avoir lieu, quel que soit x, elles devront subsister lorsque x=X, ce qui donne ka, k'=b, k" c.... donc notre équation ne peut être satisfaite, vu l'indépendance de a, b, c,.... à moins que chaque terme ne soit nul. Ainsi elle se partage en autant d'autres qu'elle renferme de termes, et on a (n) étant l'ordre le plus élevé de Z. Ces diverses équations devront s'accorder toutes entre elles, et subsister en même tenis, quel que soit x: si cet accord a lieu, il y aura maximum ou minimum, et la relation qui en résultera entre et x será l'équation cherchée y = 4x, qui a la propriété de rendre Z plus grand ou plus petit que ne pourroit faire toute autre relation entre x et y. On distinguera le maximum du minimum suivant les théories® ordinaires, d'après le signe des termes du 2°. ordre. Mais si toutes ces équations donnent des relations différentes entre x et y, le problême sera impossible dans l'état de généralité qu'on lui a donné et s'il arrive que quelques-unes seulement de ces équations s'accordent entre elles, alors la fonction Z aura des maxima et minima relatifs à quelques-unes des quantités x, y, r', y",.... sans en avoir d'absolus et de communs à toutes ces quantités. Les équations qui s'accorderont entre elles donneront les relations qui établissent les maxima et minima relatifs. Et si on ne veut rendre X un maximum ou un minimum que par rapport à l'une des quantités x, y, y', y",... comme alors il ne faudra satisfaire qu'à une équation, le problême sera toujours possible. Il suit des considérations précédentes que 1°. les quantités et sont dépendantes l'une de l'autre, et que néanmoins on doit les faire varier comme si elles étoient indépendantes, puisque ce n'est qu'un procédé de calcul pour parvenir au résultat. 2°. Ces variations ne sont pas infiniment petites; et si on emploie le calcul différentiel pour les obtenir, ce n'est que comme un moyen expéditif d'avoir le second terme du développement, le seul qui soit ici nécessaire. Appliquons ces notions générales à un exemple: prenons sur l'axe des x d'une courbe deux abscisses m et n, et menons des parallèles indéfinies à l'axe des y: soit y=qx l'équation de cette courbe; si en un point quelconque |