petit orifice, doit remonter à la méme hauteur à laquelle la surface du fluide est élevée dans le réservoir: on fait ici abstraction de la résistance de l'air.

335. De ce que la vitesse d'un fluide qui s'écoule par un orifice infiniment petit, est u=√(2 gh), il s'ensuit que si le fluide est entretenu dans le vase à la même hauteur h, par une quantité d'eau áffluente égale à celle qui s'écoule, il sortira dans chaque unité de tems un prisme de fluide d'un volume k√(2gh). Ainsi le volume Q qui s'écoulera pendant un tems donné t, sera

2

Q=kt V(2 gh)...................... (4).

Nous ferons observer que cette équation renferme quatre quantités, Q, k, t et h, et qu'elle pourra servir à déterminer l'une d'elles d'après la connoissance des trois autres; ainsi de ces quatre choses la grandeur de l'orifice, le tems de l'écoulement, la hauteur du fluide au-dessus de l'orifice, et le volume écoulé, trois étant données, on pourra toujours trouver l'autre.

Par exemple, si le vase est un prisme vertical (percé à son fond par un orifice très-petit) dont la section horisontale soit K, Kh est le volume du fluide qu'il contient. Si donc on fait Q Kh, le vase, entretenu constamment plein, emploiera à la dépense d'un volume d'eau égal Kħ, c'est-à-dire égal à celui qu'il contient, un tems.................... K

=

2g

Il suit aussi de l'équation (4) que lorsque deux vases sont entretenus constamment pleins, les quantités de liqueurs qui s'écoulent dans le même tems sont entre elles comme les produits des orifices par les racines carrées des hauteurs. Car on aura pour le second vase Q' —k' t√ (2gh'), en marquant d'un trait les lettres qui se rapportent à ce

sant par expérience ce qui est relatif à l'un des écoulemens, on pourra déterminer ce qui a rapport à l'autre.

336. Lorsque l'eau qui s'écoule n'est ni en totalité ni en partie remplacée, la vitesse à l'orifice diminue graduel. lement à mesure que le fluide s'abaisse dans le vase. L'eau jaillit donc avec une force de moins en moins grande, et l'amplitude du jet diminue sans cesse.

Si donc K désigne l'aire de la section du vase par un plan passant par la surface supérieure du fluide au bout du tems t, z la hauteur dont pendant ce tems le fluide s'est abaissé, et h la hauteur du fluide au-dessus de l'orifice au commencement du tems; h -z sera cette hauteur au bout du temt t, et on aura pour la vitesse à l'orifice V[2g(hz)]. Cette vitesse peut être regardée comme constante pendant le tems de durant lequel il s'écoulera un prisme de fluide qui aura l'orifice k pour base et dt V [2g(hz)] pour hauteur. Ainsi le volume du fluide écoulé pendant l'instant dt est kdt V [2g(h—z)]. Mais pendant ce tenis la surface supérieure du fluide s'est abaissée de dz, et le vase a perdu un cylindre de fluide ayant dz pour hauteur et K pour base, cylindre dont le volume est par conséquent Kdz: en égalant ces deux valeurs, on en conclut

par

Comme l'aire K doit être donnée en fonction de z, la forme du vase, le second membre de cette équa tion ne contient que la variable z; et il sera très-aisé de connaître, par une intégration, les abaissemens successifs du fluide dans un vase de forme donnée.

337. Appliquons cette théorie à quelques exemples. I. Si le vase est un prisme ou un cylindre vertical, l'aire Kest constante et égale à la section horisontale du

Ainsi on a

corps.

Lorsque le tems t est nul, l'abaissement z de la surface supérieure du fluide est nul: ainsi on a en même tems z=0 et 1=0; cette condition détermine la constante C, et donne pour le tems de l'écoulement d'une hauteur z de fluide

On peut trouver aisément le tems de l'écoulement il ne s'agit pour cela que de faire z

total;

K

k

2 h

h, et on a

Ce tems est double de celui qui a

été trouvé (336) pour le cas où le vase reste constamment plein.

II. S'il s'agissoit en général d'un solide de révolution, dont l'axe fût vertical, K seroit l'aire d'un cercle qui auroit pour rayon l'ordonnée y de la courbe génératrice; en auroit donc Kay', et l'équation (a) donneroit

Il faudroit mettre pour y sa valeur déduite, en fonction de z, de l'équation de la courbe génératrice, et intégrer en complettant l'intégrale de manière à avoir en même tems t=0, et &=0, on auroit par là t en fonction

de za

Supposons par exemple que la paroi interieure da case soit engendrée par la révolution d'une parabole BAC, autour de l'axe vertical Az. Soit BC la surface superieure du fluide quand le tems est nut, et faisons AD=h: l'équation est y = px, p est le parametre: l'orifice et l'origine sont en 4; donc en transportant l'origine en D, l'équation est p (h et en substituant on a

On anra le tems de l'écoulement total en faisant h

558. La théorie que nous venons d'exposer peut servir a marquer sur les parois des vases des divisions propres à mesurer les tems employés dans l'écoulement par les différens abaissemens du fluide. On nomme un pareil systême, Horloge d'eau ou Clepsydre. Ces machines occupent une place intéressante dans l'histoire des sciences et des arts, par l'usage qu'en ont fait les anciens peuples pour la mesure du tems. On en attribue l'invention à Scipion Nasica, qui vivoit environ 200 ans avant Jésus-Christ; mais il est vraisemblable qu'il en a seulement fait connoître l'usage à Rome; et que les Egyptiens, qui s'en servoient pour ruesurer le cours du soleil, les les connoissoient à une époque fort antérieure. L'usage des horloges à pendules isochrones tenoit à des notions qui exigeoient le concours des découvertes faites postérieurement dans les sciences et les arts.

La manière dont les anciens ont tiré parti de l'écoulement de l'eau pour sous-diviser la durée des années et des jours est souvent très-intéressante. Les idées de l'eau qui s'écoule, et du tems qui fuit, offrent par leur rapprochement des images agréables et des comparaisons, que la philosophie et la poésie ne pouvoient manquer de saisir. La clepsydre de Ctesibius en offre un exemple ingénieux. On ne peut se refuser à une secrette et douce mélancolie en voyant l'eau s'échapper, en forme de pleurs, des yeux d'une figure qui semble payer ce tribut de regrets aux ins-` tans qui s'échappent. Cette eau se rend dans un réservoir vertical, où elle élève une autre figure qui tient une baguette au moyen de laquelle, et de son ascension graduelle, elle indique les heures sur une colonne. Le même fluide sert ensuite de moteur dans l'intérieur du piédestal à un mécanisme qui fait faire à la colonne une révolution autour de son axe, dans un an, de telle sorte que le mois et le jour où l'on est se trouvent toujours sous l'index, dont l'extrémité parcourt une verticale divisée convenablement.

339. Il est évident que tout vase peut servir à former une clepsydre; mais la manière la plus commode seroit de se servir d'un vase, dont la forme fût telle que des portions égales de tems fussent mesurées par des divisions égales de l'axe vertical du vase. Si donc on veut que le fluide s'abaisse d'une grandeur donnée a dans chaque unité de tems,

Le rapport entre K et z est d'ailleurs arbitraire, c'est-à