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LIVRE IV,

HYDRODYNAMIQUE,

I, De l'Ecoulement des fluides par des orifices;

ON

horisontaux.

323. N sait que lorsqu'un fluide pesant et incompres sible sort d'un vase par une ouverture faite au fond ou aux parois, sa surface demeure toujours horisontale, au moins sensiblement, en supposant que les parois du vase conduisent à l'orifice sans rompre la loi de continuité, et en faisant abstraction de la cause qui produit au-dessus de l'orifice une espèce d'entonnoir, quand la surface du fluide est très-proche de l'orifice. Il résulte de là que, si on conçoit une infinité de tranches horisontales dans le fluide, elles conserveront en s'abaissant leur parallélisme; et que de plus, chaque point d'une même tranche descend verticalement, en faisant abstraction des molécules qui sont près des parois courbes ou inclinées, parce que leur nombre est inifmiment petit par rapport à celui des autres points de la tranche. Nous supposerons donc ici, d'après ces raisonnemens, comme un fait dû à l'expérience, que lorsqu'un fluide s'écoule d'un vase CApqB par un orifice Fig. 138. horisontal pq, toutes les tranches horisontales du fluide conservent en s'abaissant leur parallélisme, de sorte que tous les points d'une même tranche ont la même vîtesse

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verticale. Et pour rendre cette hypothèse plus conforme aux observations, nous regarderons la distance entre la surface supérieure AB du fluide et l'orifice pq comme assez considérable pour que la surface ne présente pas l'entonnoir dont on a parlé. La figure de la paroi intérieure du vase est supposée connue et donnée par son équation en x, y et z; les z étant comptés sur la verticale Ck qui passe par l'orifice pq, et l'origine étant en un point quelconque C. Toute section horisontale du vase, telle que TV= , aura donc une figure déterminée en fonction de CQz: il en est de même de la surface supérieure AB: K du fluide, laquelle peut être constante ou varier avec CR=1; on connoît aussi l'aire pq k de l'orifice, que nous supposons être une section du vase répondant à la hauteur Rkh, ou à l'abscisse Ck=1+h.

Si on conçoit le fluide partagé en une infinité de tranches horisontales ABba, il faudra, par hypothèse, que toutes les molécules qui composent l'une de ces tranches aient la même vitesse verticale; soit celle de la tranche quelconque TV pour laquelle CQ=z ét TV= est fonction de x et t. Toutes ces tranches agissent les unes sur les autres dans toute l'étendue Rk ; en sorte que si la vitesse des unes est accélérée par le poids de celles qui sont au-dessus d'elles, la vitesse de celles-ci est diminuée par les autres dont l'écoulement ne se fait pas avec la même rapidité que si le fluide tomboit librement. Nous désignerons par u larvitesse du fluide qui s'écoule, au bout du tems t, par l'orifice pq; u n'est fonction que de ; et par p la pression verticale exercée de haut en bas à la surface TV, au même instant : cette pression est rapportée à l'unité de surface (268).

La nature du problême que nous nous proposons de résoudre comporte deux sortes de variations qu'il est

important de bien distinguer. Tantôt on a pour but de considérer les espaces décrits par une molécule dans des tems successifs; nous affecterons du signe / les intégrales > que cette circonstance introduira; tantôt aussi on considère, au méme instant, deux molécules de la masse fluide, déterminées par des valeurs de z différentes nous emploierons la caractéristique S pour désigner les intégrales qui se rapportent à ce cas, et qui sont uniquement relatives à la forme du vase, et absolument indépendantes du tems et du mouvement.

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324 Cette notation établie, considérons le mouvement de la tranche VT au bout du tems"; la vîtesse v dę cette tranche s'accroîtra de dv dans l'instant de qui suit,

dv

ou plutôt dt, puisqu'ici on ne considère que la va

dt

riation que éprouve lorsqu'il s'agit d'une même tranche de fluide. Or, s'il n'y avoit aucune action des molécules les unes sur les autres, l'accroissement de vitesse seroit gdt; d'où il suit que durant le tems de la tranche TV perd, en vertu de cette action mutuelle, la vitesse...

dv

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dt

dt. Par le principe de d'Alembert (229) si

chaque tranche n'étoit mue que par la force verticale

g

dv

dt

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l'équilibre auroit lieu pour exprimer cette condition, il faut recourir à l'équation (6, 270) et faire X=0,

dv

Y=0; Z=g- ; la densité D étant =1, on

dt

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L'intégrale doit être prise depuis la surface AB du fluide

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jusqu'à la tranche indéterminée dont on cherche la přession, t étant constant

325. Il convient de distinguer dans notre intégrale la partie qui dépend du tems de celle qui est fonction de ż, car et la différentielle dv relative au tems, sont des fonctions de z et t. Pour cela, observons qu'en vertu de l'incompressibilité du fluide, la tranche TV ne peut descendre de dz durant l'instant dt, sans qu'il s'écoule en même tems par l'orifice k une portion égale de fluide :

(*) Soient, .... les aires des tranches de fluides; v2, v. .. leurs vitesses; gldz, g" dz.... sont les forces motrices qui les

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sollicitent: or par la réaction des parties ..dz, ..("dz...

dt

dt

sont les forces qui ont lieu : les forces perdues sont donc...

(8 — dw) ydz, (5 — 'd') (dz.......... D'après cela la première

dt

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tranche exerce sur la seconde la pression (gd) 'dź,

pression qui se transmet à la troisième par l'intermédiaire de la

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des surfaces pres

sées («, 267), on a pour la pression de la première tranche sur la

troisième (5) "ds, laquelle, jointe à celle qu'exerce

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même (38
(3g - dt

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dt

+

exercée sur la quatrième tranche. Celle qui a lieu sur une tranche

dv

quelconque TV est donc gx RQ.} — {S. dz en divi

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sant par, on obtient la pression p sur l'unité de surface; ce qui s'accorde avec ce qu'on vient de voir. (C'est M. Poisson quí m'a communiqué cette démonstration.)

ces quantités étant visiblement kudt et ¿dz, on a

kudt = dz, d'où ku=vį.
d'où kuv (2)

à cause de dz=vdt: v et % sont des fonctions de z et t, qui cependant sont telles que leur produit est indé pendant de z, puisqu'il est =ku; il en est de même de dz: ainsi vet dz sont constantes relativement à notre intégration.

Cela posé, 1o. S. gdz=gz', entre les limites z=1=CR et_z=z'+1=CQ, z' étant la distance RQ de la surface supérieure du fluide à la tranche quelconque TV;

ku di

ku

dv k du

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donne

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; d'où

Ě

dt

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elle sera connue en fonction de z, puisque se déduit de l'équation de la paroi du vase : quant au second terme,

comme ¿dz est constant, il équivaut à

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dz dž ku. S. dt

;

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A désignant la pression que l'atmosphère, ou toute autre cause, exerce sur chaque unité de la surface supérieure AB. z' et u; Cette équation détermine p en fonction de z,

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