fx 1 léc. c. I kil. ; le poids ƒ, exprimé en kilogrammes, donnera donc le volume du corps exprimé en décimètres cubes; ce qui offre le moyen d'avoir le volume d'un corps quelconque. La balance hydrostatique sert aussi à trouver les rapports des pesanteurs spécifiques des fluides; car soient fet f' les poids qu'il faut, comme ci-dessus, ajouter à un corps pour qu'il soit en équilibre dans deux fluides; ce sont les poids de deux volumes égaux des fluides, f est donc le rapport cherché. Ainsi le rapport des pesanteurs spécifiques des fluides est le même que celui des pertes de poids que fait le corps plongé. Consultez sur cette matière la Table des pesanteurs spécifiques, par Brisson. 298. Il est aisé maintenant de comprendre comment ARCHIMEDE put résoudre le problême de Hiéron, roi de Syracuse. Il s'agissoit de s'assurer, sans endommager une couronne, si elle étoit composée d'or pur; et dans le cas où on y auroit mêlé de l'argent, de connoître le rapport entre les parties constituantes de ces deux métaux. Ce problême revient à trouver le titre d'un lingot composé d'or et d'argent. Soient et П' les rapports connus des pesanteurs spécifiques de ces deux métaux à celle de l'eau; ƒ et f' les poids du mélange dans le vide et dans l'eau; enfin x et ƒ—x les poids respectifs des parties d'or et d'argent contenues dans le mélange. Puisque II est le quotient du poids a de l'or divisé par le poids de l'eau qu'il déplace, - que l'argent déplace. La somme de ces quantités est le poids f' du volume d'eau déplacé par le mélange; ainsi S'il n'y avoit eu que de l'or, on auroit eu П= x=f; il est donc aisé de s'assurer si le mélange contient de l'alliage, ou s'il n'est formé que d'or pur. Cette théorie est supposée dégagée de la pénétration apparente que les corps mélangés peuvent éprouver en vertu de leurs attractions chimiques. IV. Stabilité et oscillations des corps flottans. et 134. 299. Lorsqu'un corps flottant est en équilibre, s'il est dérangé de cet état par une cause quelconque, telle qu'une impulsion, il est important de connoître si cette circonstance permettra au corps de revenir à sa première position, ou le contraindra au contraire à s'en écarter davantage: c'est ce que nous nous proposons d'examiner ici. Dans la situation d'équilibre, la droite GO qui joint Fig. 133 le centre de gravité G du corps DFE à celui O du fluide déplacé AFB, est verticalę; ce sera notre axe des z: lorsqu'on dérange le corps, la ligne GO s'incline, O n'est plus le centre de gravité du fluide déplacé aFb b; nous supposerons ici que le dérangement a été très-petit, ou que le corps a tourné infiniment peu; nous prendrons le plan xy horisontal et passant en G; le plan de la figure lui est perpendiculaire; l'axe des y y est projetté en G, Gx est l'axe des x, AB représente la surface de flottaisou dans l'état d'équilibre, ab est celle de l'état varié; on est supposé avoir pris les y parallèles à l'axe de ces surfaces, qui sépare la partie BCb qui s'est immergée, de celle ACa qui est sortie du fluide; c'est ce qu'on nomme l'axe de flottaison; il est projetté en C; O peut être placé plus bas que G; cela ne change rien aux considérations: notre figure suppose que le corps flottant n'est point homegère, et que sa partie inférieure est chargée d'une substance spécifiquement plus pesante que le fluide. Du reste nous regarderons comme 'nfiniment petit l'angle aÑA=6=GOV: de sorte qu'on peut supposer l'onglet A Ca engendré par la révolution de la surface AC autour de l'axe de flottaison C; il en est de même de BCb; qq et pp' sont les projections des arcs décrits par les centres de gravité de BC et AC. Nous ferons ici abstraction du mouvement vertical du corps, et nous regarderons aFb comme égale à AFB, de sorte que la partie ACa qui est sortie du fluide soit égale à celle BCb qui s'y est plongée. S'il n'en étoit pas ainsi, le poids du corps ne seroit plus égal à la poussée du fluide, et ces deux forces pouvant être considérées comme appliquées en G (255), le corps auroit un mouvement vertical: mais en outre il tourneroit autour du point G comme s'il étoit fixe; et comme ce dernier mouvement a lieu indépendamment du premier, et qu'il est le seul qui nous intéresse, notre hypothèse simplifie les considérations et ne change rien à ce mouvement. En égalant les expressions des volumes égaux ACa, BCb qui sont (p. 93) AC × pp' et CB × qq', on voit que comme les momens des aires AC et BC sont égaux par rapport à l'axe C de flottaison, le centre de gravité de la surface AB ou ab. est situé sur cet axe. L'équilibre n'ayant plus lieu, nous allons chercher le mouvement que le corps devra prendre. Soient GO=a, le volume AFB: aFb-S; on a de plus sine COSI. La poussée du fluide sur la partie plongée aFb est égale au poids du fluide déplacé; cette force agit au centre > en de gravité de aFb; or comme la position de ce centre nous fera trouver le sens du mouvement du corps autour du point G, il faut en déterminer la position, prenant les momens par rapport aux plans ya ẹt xz, Pour cela observons que aFb+aCA est la même chose que AFB + CBb: or il est démontré (52,14°.); qu'en considérant les volumes aFb, aCA commie concentrés en leurs centres de gravité respectifs, ainsi que ceux de AFB et CBb, et prenant les momens par rapport à un plan quelconque, ces, momens seront de part et d'autre égaux. Prenons donc les' momens par rapport au plan yz. 1o. On a AFB x GV Sa sin Sae, pour, le moment de AFB supposé réuni en O. 2o. CBb x qi sera celui de CBb, parce que q, differe infiniment peu du pied de la verticale passant par le centre de gravité BCb. " 3o. aCAx ip sera de même celui de aCA. 4°. Enfin soit gn la projection de la verticale passant par le centre de gravité de aFb, aFb × Gn = Sx sera le moment de aFb, en supposant Gn = x.`, Cela posé, le moment de aCA doit être pris en signe contraire de celui de aFb, parce que le poids et la poussée tendent à faire tourner en sens contraires (35) autour de l'arc des . On a donc Sx-ACax ip=Sas+CBbx qi, d'où Sx Sat + CBb × pq. Pour déterminer les centres de gravité des onglets, il faut diviser la somme des momens de leurs élémens par leurs volumes or soit pris un élément de la surface AC dont la distance à l'axe C, de flottaison soit, eg est l'arc qu'il décrit dans la rotation de AC autour de cet axe, ou la fauteur du petit parallelipipède qu'il engendre; 9ge est son volume, et son moment relativement 1 à un plan vertical mené par l'axe C: ƒ (g2) est donc la somme de ces momens, ainsi f(ge) = ACa x Cp: on auroit de même Ccb x Cq, et ajoutant on trouve BCbx pq=0b2, en désignant par b' le moment d'inertie de l'aire AB de flottaison relativement à son axe; noment positif (236) et connu, puisque cet axe est paraljèle à celui des y, et mené par le centre de gravité de AB. Donc enfin l'abscisse Gn de la poussée du fluide Le moment du volume AFB n'est ici positif que parce que le centre de gravité O du fluide déplacé s'est trouvé plus élevé que celui du corps; mais s'il n'en eût pas été ainsi, et si le point O se fût trouvé placé sous le point G, la perpendiculaire GV seroit tombée du côté opposé; alors le moment de AFB auroit tendu à faire tourner în b2 sens contraire, et on auroit eu x= = (-a+, 2012-) 0. S Si on veut cumuler les deux cas dans la même formule, on écrira donc en prenant le signe supérieur dans le cas où le centre de gravité du corps est plus bas que celui du fluide déplacé ; et le signe inférieur dans le cas contraire. Nous ne connoissons encore que l'x du métacentre; pour obtenir l'y recourons à l'équation ........... aFb+aCA= AFB + CBb, et prenons les momens relativement au plan xz: celui de aFb est Sy; celui de AFB est nul, puisque le centre de gravité O est dans le plan xz il ne nous reste donê plus qu'à évaluer ceus |