en désignant par S(μg) la somme des termes. 12 pé gl2 + pell ell2 + etc., c'est-à-dire la somme des produits des molécules par les carrés de leurs distances à l'axe, de sorte qu'en multipliant cette équation par dz=vdt, et intégrant, on obtient (m · m' — pa) z + pz2 - x 2 gr2. r2 (m+m' + pa) + S (μg2) Le reste n'a plus de difficulté. Quant à la valeur de la quantité S(μg), nous allons nous occuper des moyens de la trouver, non-seulement pour une poulie de dimensions connues, mais encore pour un corps et un axe quelconques, parce que par la suite nous en aurons fréquemment besoin. V. Moment d'inertie. 239. Soient m', m", m"", les masses des molécules d'un corps de figure connue; g′, g", g'"', ••• leurs distances à un axe quelconque : on a nommé Moment d'inertie, la quantité 2 m'g'2 + m" gll2+mga+ etc. S(mg2). C'est la somme des produits des masses des molécules du corps, par les carrés de leurs distances à l'axe. Comme nous supposerons que ce corps est homogène, il faut remplacer, dans tout ce qui va être dit, les masses des molécules par leurs volumes qui leur sont proportionnels. La quantité S(mg) ne dépend que de la forme du corps et de la position de l'axe; de sorte que comme elle est indépendante du tems, elle l'est aussi de toute idée de mouvement; en un mot cette fonction est purement géométrique et essentiellement positive : cependant nous appellerons, pour abréger, axe de rotation, l'axe. par rapport auquel on cherche le mouvement d'inertie. Soient x','; x",y",... les coordonnées des molécules m', m",... de ce corps en regardant l'axe donné comme étant celui des z. On a 'x'y', etc.; et 2 T=m'(x'2+y'2)+m" (x"2+y"2)+etc.=S.m(x2+y3)..(g") Ainsi, pour trouver le moment d'inertie T d'un corps par rapport à l'axe des z, on évaluera le volume m d'une molécule en fonction des différentielles de ses coordonnées a Jetz, et on intégrera dans toute l'étendue du corps la quantité m(x+y), en suivant les mêmes procédés que pour les quadratures et les centres de gravité (p. 74). Mais il arrive très-souvent que l'équation qui détermine la forme du corps n'a pas pour axe des z celui par rapport auquel on cherche le moment d'inertie. L'emploi de l'équation précédente exige donc dans ce cas la résolution de ce problême qui ne dépend que d'une transformation de coordonnées : Trouver le moment d'inertie par rapport à une droite quelconque. 240. Supposons d'abord que l'axe de rotation soit parallèle à celui des z: il est visible que la transformation qu'il faut employer consiste à transporter l'origine des coordonnées au point où l'axe de rotation rencontre le plan xy. Soient het i les coordonnées de ce point, et r sa distance à l'origine, ou la distance entre les deux axes parallèles, de sorte que h2+l2= r2: on changera donc simplement x' et y' en x-hety—l, dans x2+y12; de sorte qu'en multipliant par m et intégrant, on aura 12. S.m (x2+2)+rM-2hMX-2 IMY.... (1). M désigne ici la masse entière du corps, ou m'+m"-etc. X et Y sont les coordonnées du centre de gravité; de sorte que (A', 54) on a MX=m'x' +m"x" + etc., MY m'y' +m"y" + etc. La fonction (1) résout complettement le problême proposé, car le premier terme est le moment d'inertie relativement à l'axe des z comme s'il étoit celui de rotation; le second terme est constant et connu; enfin on obtient les deux autres par des intégrations (Voyez p. 74). Si l'axe des z passait par le centre de gravité, alors la valeur (1) se simplifieroit beaucoup, car X et Y seroient nuls; le moment d'inertie se réduiroit dans ce cas à S.m (x2 +2) + r2M.......... (h"). Or dans cette formule, rM est le produit de la masse entière du corps par la distance du centre de gravité au nouvel axe; le premier terme est le moment d'inertie pris par rapport à l'axe passant par ce centre: donc, pour avoir le moment d'inertie d'un corps par rapport à une droite, quand on connoît la valeur de ce moment par rapport à une autre droite parallèle passant par le centre de gravité, il faut à cette valeur ajouter le produit de la masse du corps par le carré de la distance entre les deux axes. On écrit souvent la formule (h") sous une autre forme plus commode. On suppose, ce qui est visiblement permis, que MkS.m (x2+ y2); de sorte que k2 est le quotient du moment d'inertie du corps, par rapport à l'axe qui passe par le centre de gravité, divisé par la masse du corps. Alors le moment d'inertie est M (r+k2)...... ... ... ... ... ... ... ... . . . ( ¿1 ). 241. Il nous reste à trouver le moment d'inertie relaFig 14. tivement à un axe quelconque Az passant par l'origine 4: pour cela, nous allons chercher à transformer toute for mule en x , yet z, en une autre qui soit fonction de trois nouvelles coordonnées rectangles x', y', z'. Projettons l'axe Az des z en AB sur le plan des x'z', et soit l'angle zAB que cet axe fait avec cette projection soit aussi l'angle z'AB qu'elle forme avec l'axe des z'; et, déterminent la position de l'axe de rotation Az. Pour effectuer la transformation dont il s'agit, soit d'abord pris AB pour axe des z, sans changer celui Ax des x. Les formules connues (Traité de Biot, no. 77) qui servent aux changemens de z et y en z, et y,, relatives aux coordonnées rectangles dans le plan yz, donnent z=z, cos +r, sin 0, y=—z, sin +, cos è, x=x, de même pour changer l'axe AB des z,en Az', sans changer l'axe Ay' des r,, on emploie le même procédé; z=z'cos + x' sinŋ, x,——z' sinn+x'cos, Jy' de sorte qu'en combinant ces résultats z=z' cos è cos + x' sin cos ◊ +y' sin Pour appliquer ceci au cas présent, il faut transformer en x, y et z l'équation en x'y' et z' du corps; Az, où l'axe de rotation devient celui des z; on forme ensuite S.m(x2+r2), ou, ce qui équivaut, on peut mettre dans S.m (x2+y) pour x et y leurs valeurs en x'y' et z'. Ainsi formons x2+, multiplions par m, et intégrons ; le moment d'inertie T, relatif à un axe quelconque, sera donc n n ท TА cos2 + C sin2 » + B — 2 E sin cos è cos2 +Asin+Ccos-B)sin 0-2(Dsin+Fcos)sine cos; nous faisons ici pour abréger A=S.mx', BS.my', C=S.mz'a D=S.mx'y', E=S.mx'z', F=S.my'z'. A, B,... sont des constantes, puisqu'elles expriment des intégrales prises dans toute l'étendue du corps, relatives aux trois axes coordonnés. La valeur de T résout complettement le problême proposé (*). Puisque le moment d'inertie est toujours une grandeur finie et positive, il est évident que parmi tous les axes qui passent par l'origine A, il en est pour lequel ce moment est le plus grand et le plus petit possible. Pour les déterminer, il faut ( Cal. diff., Lacroix, 134) égaler séparément à zéro, les différentielles de T, relatives à et àn; A, B,... étant constans, puisqu'ils ne dépendent que des axes coordonnés x', y', z'. Désignons par s, s' les sinus, c et c' les cosinus respectifs den et, nous au rons Fs—Dc ( C— A ) scc' — Ec' (c2— s3 ) + ( 'F's — Dc) s' = ° ...(2). (As2+Cc2—B÷2Esc)s'c'—(Ds+Fc)(c'2—s'2)=0) γ 0 (*) L'axe de rotation, au lieu d'être déterminé par ◊ et », peut l'être par les angles a, 6 et qu'il fait avec les axes des x', y' et z' respectivement: il est aisé d'exprimer et en fonction de ęty, en remontant à la note page 21; elle donne cosa sin cost, cossin, cos y cos cos", d'où on tire` = ལ "" Or cos2 + cos2 6 + cos2 y = 1; la valeur de 7 devient donc en substituant et réduisant T=Asin'«+Bsin C+Csin3y-2Dcosa cost-2Ecosacosy-2 Fcosecos,. 1 |