'avec laquelle les corps se meuvent, m' en montant ét m en descendant; cette vitesse est prise positivement pour les deux corps, parce que comme la poulie ne sert ici qu'à changer les directions des forces, on peut regarder comme positives les directions qui sont dans le sens m' CFBm, comme s'il ne s'agissoit qué d'une droite. La gravité g qui sollicité les deux corps leur a déja, au bout du tems t, communiqué la vitesse ; et dans l'instant suivant, elle imprime à chacun d'eux la vitesse gdt; mais l'une de ces impulsions est dirigée dans le sens du mouvement de m, tandis que l'autre a lieu pour m' dans un sens opposé. Si donc le fil venoit à se rompre au bout du tems t, les vitesses de m et m' seroient + gdt, et v-gdt dans l'instant suivant. Or par la liaison du systême; la vitesse devient pour tous deux vdv; et on a le tableau suivant :

masses............... vîtesses imprim..... vitesses effectives.

D'ailleurs, pour l'équilibre entre les forces imprimées et celles qui ont lieu prises en sens contraire, il faut (217) que la somme des quantités de mouvement (prises avec leurs signes) soit nulle; ce qui donne

m (v+gdi)+m' (v—gdt)—m(v + dv)—m' (x + dv) =0, ou en réduisant (m—m') gdt (m +m') dv = 0; d'où

Ce qui prouve que le mouvement est uniformément varić.

Comme les poids sont proportiones aux masses 30, on peut remplacer ici m et m' par P et Q, ainsi que Cans les problèmes suivans.

Il se présente ici deux cas, suivant qu'on a orizimirement laissé partir les motiles da repos en les abandonnant a la seule gravité, ou qu'on leur a fait prendre une vitesse initials, en connant une impulsion a l'um d'eur

252. Dans le premier cas on a visiblement C=0; et ti on compte les e à partir du point de départ de chaque corps, on a aussi E=0; ce qui donne

Tig, 112

233. Athood, physicien anglais, a employé ces formules à la vérification de tout ce qui a été exposé précédemment sur la nature et les effets de la gravité, sur le choc des corps durs, etc. Il s'est servi pour cela d'une machine qui consiste en une poulie BFC, et deux poids Pet Q, unis par un cordon mBFCm'; il a de plus rendu cette machine susceptible d'une très-grande précision, 1°. en faisant porter l'axe de la poulie sur des rouleaux mobiles, an d'en diminuer le frottement (131); 2°. en suspendant les poids P et Q à des soies très-fines, afin que celui des deux corps qui a de son côté une plus grande longueur de cette soie n'ait pas son poids sensiblement augmenté; 3°. en ajoutant au systême une horloge sonnant les secondes; 4°. en faisant porter cet appareil par un pied marqué de divisions égales.

La machine d'Athood sert à plusieurs expériences intéressantes: 1o. si on suspend deux poids égaux, mais qu'on charge l'un d'eux d'un poids additionnel,,puis qu'à l'aide d'un arrêt attaché au support, on enlève ce poids à un

instant déterminé de la chûte, le mouvement devra continuer uniformément avec la vitesse acquise. On pourra donc créer un mouvement physique propre à donner une idée exacte de ce que nous avons nommé la vitesse des corps (149), et modifier cette vitesse à son gré; 2°. si on prend des poids m et m' dont la différence soit petite et déterminée, les valeurs (e") de la hauteur e et de la vitesse de la chûte seront d'autant moindres que ces poids seront eux-mêmes plus grands: la chûte sera aussi lente qu'on voudra, et on pourra en évaluer avec précision la quantité à chaque instant; 5°. puisque l'expérience fera connoître les valeurs de e et correspondantes, tout sera connu dans les équations (e"), excepté g; en négligeant, par approximation, la résistance de l'air, parce que le mouvement a peu de rapidité; on peut donc, à l'aide de cette machine, vérifier la mesure de la gravité g dont nous avons précédemment trouvé la valeur (195, 4°.).

234. Dans le second cas, si au lieu d'abandonner sim- ́ plement les corps à la gravité, on a imprimé de haut en bas à P l'impulsion V; cette vitesse a dû être répartie entre les deux masses m' et m, suivant la même loi que si m choquoit avec la vitesse V le corps m' en repos:

ainsi la vitesse commune aux deux poids est

m+m'

(c").

Telle sera la valeur de la vitesse lorsqu'on compte to, ou plutôt celle de la constante C; donc

On déduira aisément de là e en fonction de t. Si on a

m' <m, (m' —m) gt et sont positifs. Ce qui fait voir que le poids P l'emportera dès le premier instant.

La solution précédente s'applique encore à une autre

question intéressante, mais de la n ême nature. Supposons Fig. 1. que le poids Q surpasse le poids P, ou qu'on ait m'>m,

et que Q étant posé sur un plan horisontal, le mouvement soit produit par une impulsion donnée à m de haut en bas. Il est clair que toute l'analyse précédente s'applique ici, et que l'équation (ƒ") devient

Fig. 49.

m + m'

On voit que P entraînera d'abord Q, et que par conséquent l'impulsion l'emportera toujours, pendant un certain tems, sur l'action de la pesanteur, quelque grand que puisse être d'ailleurs m' par rapport à m, puisqu'on aura d'abord m V > (m' — m) gt. On voit donc qu'il n'y a pas d'impulsion petite qu'elle soit, qui ne puisse vaincre le poids d'un corps: ce qui confirme ce que nous avons déja avancé (150, 221), que la force des corps en mouvement ne peut être mesurée par des poids, et qu'on ne peut comparer la percussion à la pression. Mais on voit aussi que la vitesse, diminuant de plus en plus, seroit nulle lorsqu'on auroit_mV=(m'—m) gt; ensuite le poids Q l'emporteroit à son tour. Il seroit trèsfacile de determiner quelles valeurs de e répondent à ces circonstances.

235. Mouvement sur les plans inclinés adossés. Soient deux plans inclinés adossés AC, CB, faisant avec l'horison les angles, et '; et deux masses m et m', unies par un fil mCm', passé sur la poulie C, et soumises à la gravité; elles agissent alors l'une sur l'autre : cherchons les circonstances du mouvement.

Au bout du tems t, m aura la vitesse, dirigée de m vers A, et la pesanteur lui imprimeroit, dans l'instant

de suivant, la vitesse verticale gdt si ce corps étoit libre; or la vitesse sera en effet v+dv; on a donc, en comptant les vitesses positives dans le sens m' Cm,

Donc si on imprimoit aux masses m et m' ces dernières vîtesses en sens contraires, il y auroit équilibre. Pour exprimer cele condition, rappelons-nous qu'il faut pour cela que la somme des composantes des forces, dans le sens des plans, soit nulle, en prenant chacune avec le signe qui lui appartient. Cette somme (en supprimant tous les termes affectés de y qui s'entredétruisent) est

Ainsi le mouvement est encore uniformément varié. Nous

n'ajoutons pas ici de constantes, parce que nous supposons que l'on n'a pas donné d'impulsion initiale, et que les e sont comptés à partir du point de départ de chaque corps. S'il en étoit autrement, il seroit facile d'opérer comme dans les problêmes précédens. En faisant ici

<=3=3

, on trouve les résultats que nous avons déja obtenus (232).

256. Mouvement sur le Treuil. Concevons deux poids rig. 112 Pet Q appliqués, le premier à la roue GF, le second au cylindre DC d'un treuil soient m et m' leurs masses; TDC le rayon du, cylindre, RCF celui de la roue,