elle est d'ailleurs légitime; car comme le mobile ne doit jamais sortir des limites za et z=b, la nature de la question exige qu'on ne puisse jamais avoir z> b et z<a; a—z et a- - b sont donc positifs. De plus z passe a-z par toutes les grandeurs entre a et b, comme b passe / de o à I sans sortir de ces limites qui sont aussi celles de sin. Les limites sont remplacées par sin =0, et sin +1. Il est aisé de voir qu'on a z= a cos2 +b sin2 . Or en supposant, pour abréger, 72 a2- b2 b= (a - b) cos2 on a a- b dz 2 sine cose (b-a) de. Ainsi, on n'a à intégrer que des termes de la forme de.sin", m étant un nombre pair or, les formules connues (Cal. int. élém. de Lacroix, 205) donnent Nous n'aurons point égard ici au premier terme de cette intégrale, parce qu'il est nul aux deux limites désignées. Un calcul semblable à celui du n°. 196 donne enfin ne Or maintenant les limites sin =0, sin @=±1, donnent pour que les valeurs indéterminées ◊ = kø, • = (2n+1), ket n étant des nombres entiers quelconques; cela fait voir que le mobile devra passer une infinité de fois du maximum au minimum de z: cela s'ac corde avec la théorie des oscillations (194). Pour obtenir les tems qui s'écoulent entre ces divers passages, il faudroit prendre tour-à-tour, 1′′, = 1 •, • • •, quantités qui diffèrent entre elles de ; et comme n'entre dans notre intégrale qu'à la première puissance, il est clair que les tems des oscillations sont égaux entre eux. Pour avoir le tems de l'oscillation entière, il faut prendre pour limites o et =, ce qui donne On peut déduire de cette formule les oscillations dans un cercle vertical; car comme la projection de l'orbite sur le plan xy est alors une droite, on a Ao: en remontant aux valeurs précédentes de A, h et c, on voit qu'on a a=r, hb, et c=r: telles sont les valeurs de z qui répondent au maximum et au minimum; on a r-h aussi En substituant, la valeur de t ci-dessus conduit à celle du n°. 196. Dans le cas des petites oscillations, est une fraction très-petite, et qu'on peut négliger: ce qui donne de nouveau la formule (s′, 195). 216. Nous ne dirons rien ici du mouvement d'un corps assujetti à parcourir une courbe à double courbure; car 2 r est évident que pour donner la vitesse Và la masse M=nm, pable de donner la vitesse Và la portion m du corps M'. et f' agissent sur la même masse m, et sont proportionnelles aux vitesses V, V'. Cette démonstration s'applique toutes les fois que les masses sont commensurables; pour l'étendre à tous les cas supposons que M et M' étant incommensurables, on ait Partageons.. Men k masses n F F ᎷᏤ (M' ± h) V1 " égales et plus petites que h, de sorte que M M= km; soit une autre masse k'm comprise entre M' et M'±h la force f propre à lui imprimer la vitesse V devant satisfaire à la condition f F k'm Mh ; ce qui est absurde, puisqu'il faut visiblement une force plus grande, pour communiquer la même vitesse à une masse plus grande : donc h= = 0. Ainsi les forces sont proportionnelles aux produits des masses par les vitesses: comme ce produit est une fonction dont l'usage est fréquent, on lui a donné le nom de Quantité de mouvement; donc les forces sont proportionnelles aux quantités de mouvement. On peut supposer ci-dessus les forces Fet F égales, ce qui donne On voit donc que là même force, capable de communiquer la vitesse Và la masse M, donneroit à la masse M' la vitesse V', pourvu que les masses soient en raison inverse des vitesses; cette force imprimeroit une vitesse k fois plus grande à une masse k fois moindre. FI est constant, on peut le Puisque le rapport représenter par a, et on a F«.MV. On peut même prendre = 1; il suffit pour cela de regarder comme unité de force celle qui imprimeroit l'unité de vitesse à l'unité de masse; ce qui revient à faire F I, V'—1, M 1. Nous mesurerons donc la force d'un corps en mouvement par le produit de la masse de ce corps, par la vitesse dont il est animé. Lorsque les corps sont hétérogènes, nos raisonnemens s'appliquent encore, pourvu que nous y désignions par m des masses égales, c'està-dire des masses qui, animées de vitesses égales et opposées, se feroient équilibre; ou plutôt des corps de même poids, puisque le poids est proportionnel à la masse (50, 248) en général, dans tout ce qui vient d'être dit, on peut substituer les poids aux masses. se 218. La Mécanique ne remonte pas aux causes de mouvement; elle ne voit que le fait qui en résulte, et son objet est de rechercher comment ce mouvement conserve ou se modifie : ainsi les calculs dépendent, non de la force facultative du moteur, mais bien de la force effective qu'il déploye. On peut évaluer l'effet d'une puissance de deux manières; par exemple, s'il s'agit de celle d'un homme, on examine, ou quel fardeau il peut supporter, ou quel ouvrage il peut faire dans un tens donné : dans le premier cas, les puissances sont comparées à une force morte, c'est-à-dire à la force qui peut leur faire équilibre, et nous avons montré qu'alors les puissances sont |