Dans le cas où le mobile auroit été abandonné à l'action 2agt=log (1±av), 'ge=—log {(1—av) (1+av)}. ,2 a'ge= Consultez la fin du n°. 222. Dans le problême précédent la vitesse du mobile, lorsqu'il est revenu au point de départ, n'est plus comme (157, V); pour l'obtenir, il faut mettre ici E pour e; on trouve.... Ꮴ 1 CHAPITRE II. DU MOUVEMENT D'UN POINT EN LIGNE COURBE. I. Propositions générales. 163. VOICI comment la notion du mouvement curviligne peut être déduite des premiers élémens de la Mécanique. Fig. 94. Soit AB la direction d'une force qui donne une impulsion au point mobile A: il parcourra uniformément cette ligne, sont plus courts, le polygone aura de plus petits côtés ; de sorte qu'il est facile de voir que le mobile décrira en effet une courbe, si les forces agissent sans interruption. 164. Il suit de là que le point mobile qui décrit un polygone ABEF doit continuer à décrire uniformément le dernier côté EF, si aucune force ne vient agir de nouveau; et que par conséquent lorsqu'un mobile décrit une courbe, si à un instant quelconque l'action des puissances cesse tout-à-coup, le mobile doit parcourir uniformément la langente à cette courbe, au point où les forces ont cessé d'agir sur lui. En effet, on peut regarder chaque élément de cette courbe comme le côté infiniment petit d'un polygone. Ainsi le corps change à chaque instant la direction de son mouvement, qui est celle de la tangente. Lorsqu'un corps décrit une courbe en vertu de l'action de certaines forces, pour se faire une idée de ce que désigne le mot vitesse, il faut supposer que la courbe est rectifiée, et que tout-à-coup les forces cessent d'agir; l'espace décrit par le mobile durant l'unité de tems est sa vitesse à l'instant où ce changement s'est produit. Soit donc KMZ la courbe que parcourt un point matériel: Fig. 1O. si au bout du tems le corps est parvenu en M, nommant s l'arc KM décrit, si tout-à-coup les forces cessent d'agir, le corps devra décrire uniformément la tangente MH, avec une vitesse v = ds dt en 165. Quelles que soient les forces qui agissent sur un mobile, on peut toujours les décomposer en trois autres parallèles à trois axes rectangulaires; il est clair que chaque composante aura un effet indépendant des deux autres (146, 5°.), et que par conséquent on peut appliquer à chacune ce qui a été dit des mouvemens rectilignes. C'est par ce moyen qu'on parvient à connoitre les propriétés du mouvement d'un point, et la nature de la ligne qu'il parcourt qu'on nomme Trajectoire, lorsque les forces qui agissent sur lui sont donnees en grandeur et en direction. Le mouvement curviligne se reiuit par la naturellement à deux ou trois mouvemens rectilignes, selon que la courbe decrite est à simple ou à double courbure. En effet, en rapportant cette courbe à des coordonnées rectangulaires, il est clair que la determination du point de la trajectoire où ce mobile se trouvera à chaque instant, dépendra de la valeur de ses coordonnées au mème instant : de sorte que chacune de ces coordonnées sera une fonction de tems, et pourra représenter l'espace rectiligne parcouru par un mobile qui seroit la projection du vrai mobile sur chacun des axes coordonnés. Ainsi, lorsque la trajectoire est plane, le mouvement pourra être représenté par les deux équations Ft, J=ft, qui seront celles des mouvemens rectilignes de deux mobiles suivant les axes des x et des y. En éliminant i entre ces équations, on obtiendra, en x et eny, une relation qui sera l'équation de la ligne parcourue par le mobile, puisqu'elle exprimera une condition indépendante du tems t, entre les variables x et y. De même si la trajectoire est à double courbure, le mouvement sera représenté par trois équations x=Ft, y=ft, z=xt; en éliminant, on obtient deux équations en x, y et z, qui sont celles de la courbe à double courbure que décrit le corps. Tout ceci s'éclaircira par la suite. Il ne s'agit que de déduire les équations x Ft, y=ft, z=xt de la nature des puissances, ou plutôt trois équations entre les quatre variables x, y, z et ; c'est ce qui va être développé. .... 166. Soient, au bout du tems t, P', Ри les forces continues qui agissent sur le mobile, a', «"...; 6', 6′′ ..... y',".... les angles formés par leurs directions avec les axes respectifs des x, y et z. Décomposons chaque force en trois autres parallèles à ces axes ; ce qui donne, d'après ce qu'on a vu (24), trois forces X, Y et Z, qui agissent ensemble sur le corps, et lui impriment une impulsion élémentaire, chacune dans sa direction, On a X = P' cos a' + P" cos a" + etc. (a'). ZP' cos y' + P" cos y" + etc. Il est inutile de dire que chacune de ces composantes doit être prise avec le signe qui lui appartient, et qui se détermine d'après les considérations développées (26). Au bout du tems t, le mobile, placé sur sa trajectoire au point qui a x, y et z pour coordonnées, a donc dans dx le sens des x la vitesse ; de sorte qu'en ce point di on peut concevoir ce mobile comme en repos, et recevant dans le sens des x une impulsion qui lui imprime vîtesse qui est imprimée au corps dans le sens des x (d, 152), 1 dx dt est en effet +Xdt; et comme les effets des forces de directions rectangulaires sont indépendans (145), les puissances Y et Z ne changent rien à cette vitesse. On en conclut que les vitesses Xdt et d dx (dt) sont égales. On prouveroit la même chose par rapport aux axes des y Telles sont les équations générales du mouvement libre d'un point. Elles doivent être employées à-la-fois lorsque les forces P', P"... sont dans des plans différens : mais deux d'entre elles suffisent dans le cas contraire: elles remplacent d'ailleurs les équations x=Ft, y=ft, z=xt, dont nous avons parlé dans le numéro précédent, qui appartiennent aux mouvemens des trois mobiles suivant les axes, de manière à être la projection du vrai mobile à chaque instant. 167. Les équations (b') ou (c') servent à faire connoître toutes les circonstances du mouvement d'un point matériel libre, et soumis à l'action des forces continues, données à chaque instant, en grandeur et en direction, c'est-àdire servent à assigner la vitesse du mobile et son lieu à un instant déterminé, ainsi que sa trajectoire. En effet, supposons pour plus de simplicité que les forces soient dans le plan des xy; X et Y étant constans ou variables, mais donnés, il ne s'agit que d'éliminer le tems entre |