le problême a deux solutions, l'une avant, l'autre après le point de rencontre. Pour les cumuler toutes deux, faisons donc tt et e-e'K, dans leurs équations e=Vt et e' E' V''; elles donneront

qui en

III. Le mouvement d'un mobile est déterminé lorsqu'on connoît les valeurs des deux constantes E et trent dans son équation, ou, ce qui revient au même, lorsqu'on donne des conditions auxquelles elles doivent satisfaire. Si, par exemple, dans le problême précédent, au lieu de donner E', on disoit seulement que le second mobile étoit éloigné de l'origine, au bout du tems de la quantité, l'équation e = E' + V't deviendroit, en mettant ces valeurs pour t et e, ɛ= E'+V'r; d'où on tire E' Vr. Si on veut obtenir une solution plus générale des problêmes précédens, on substituera - V'r à E', dans les équations auxquelles nous avons été conduits.

IV. Soient deux mobiles assujettis à décrire uniformément la même courbe. Pour trouver le point de rencontre, il est clair qu'il suffit de concevoir la courbe rectifiée et de recourir aux équations (b). Mais si la courbe est fermée, les mobiles, en continuant de se mouvoir, sę rencontreront de nouveau : le lieu de la première rencontre est alors pris pour point de départ, et pour y appliquer les mêmes formules, il suffit de regarder alors

les deux mobiles comme distans du périmètre entier p de la courbe. L'instant de la seconde rencontre est

continuant ce raisonnement, on aura la troisième rencontre; etc.... En général la neme. rencontre aura lieu au

courus par chaque mobile depuis son point de départ jusqu'au lieu de la neme, rencontre, seront

On pourroit prendre un plus grand nombre de mobiles.

A l'aide de ces formules, on détermine l'instant où les aiguilles d'une montre qui marque les heures et les minutes, se doivent rencontrer, puisqu'on peut regarder les extrémités des aiguilles comme des points qui parcourent la même circonférence.

II. Du Mouvement Varié en général.

148. Tout mouvement qui n'est pas uniforme est appelé VARIE; et on dit que ce mouvement est Accéléré ou Retardé, suivant que les espaces parcourus dans des tenis égaux successifs, sont de plus en plus grands, ou de plus en plus petits.

Pour avoir une idée nette du mouvement varié d'un mobile, il faut le concevoir continuellement soumis à l'action d'une force, de sorte qu'il en reçoive à chaque instant une

nouvelle impulsion: sans ces actions réitérées, le mouvement seroit uniforme, et on voit que la force agissant sans interruption sur le mobile, on peut supposer, sans qu'il en résulte d'erreur sensible, que ces impulsions sont séparées entre elles par des tems dont la durée est infiniment petite. En effet, représentons l'espace que fait décrire une force sans cesse agissante, par l'ordonnée d'une courbe dont l'abscisse représente le tems; cette courbe se change en un polygone d'un grand nombre de côtés, lorsqu'on suppose que la force exerce ses actions successives en laissant entre elles des intervalles de tems très-petits; et on obtient un polygone d'une infinité de côtés lorsqu'on suppose ces intervalles égaux entre eux et à l'élément du tems dt. Nous avons dans la pesanteur, les attractions,... des exemples de forces continues.

149. Si on suppose qu'au bout d'un tems quelconque ¿, la force cesse tout-à-coup d'agir, le mouvement du point devient sur-le-champ uniforme, et la vitesse, dans ce mouvement, est produite par les impulsions exercées durant le tems qui a précédé; cette vitesse, ou l'espace que le corps parcourt dans chaque unité de tems, est ce qu'on appelle la vitesse du corps au bout du tems t. Cela n'est point une chose de pure définition, et en réfléchissant attentivement, on verra que nous ne nous formons pas une autre idée de la vitesse variable d'un corps : toutes les impulsions se sont ajoutécs ( 146, 5o), et dans le mouvement uniforme qui s'est établi, la vitesse est celle qu'auroit produite une force unique égale à la somme de ces impulsions réitérées. Ainsi dans un mouvement varié, la vítesse d'un mobile à un instant déterminé, est l'espace qu'il décriroit durant cliaque unité de tems, si tout-à-coup à cet instant la puissance cessoit d'agir. Soient v cette vitesse, e l'espace décrit pendant le tems, ou la distance du corps

à l'origine après ce tems, de sera l'espace décrit pendant l'élément de tems dt; et puisque le mouvement est devenu uniforme, dans chacun des élémens de tems suivans le mobile devra parcourir le même espace de; de sorte que celui qui sera décrit durant une unité de tems, sera de pris autant de fois que dt est contenu dans l'unité de tems, ou de x ; donc

I dt

Ainsi dans tout mouvement varié, la vítesse est le coefficient différentiel du premier ordre de l'espace, ou, l'élément de l'espace divisé par l'élément du tems. Si donc on désigne par eft, l'équation qui exprime la relation entre les espaces e et les tems t dans le mouvement qu'on considère, on obtiendra aisément, en fonction du tems t et par une simple différentiation, la vitesse v=ft. Et réciproquement si on a l'équation v=ft, il ne faudra qu'une simple intégration de l'équation de dt.f't, pour obtenir l'équation du mouvement e= = ft. Du reste, si le corps s'éloigne de l'origine des e, v sera positif, parce que e et croissant ensemble, de et dt sont de même signe. Le contraire auroit lieu si le corps s'approchoit de l'origine des e, et seroit négatif.

150. Comme l'effet d'une force connue sur un mobile est de lui communiquer par ses actions successives une vîtesse finie, au bout d'un tems fini, et comme le nombre de ses impulsions est infini, chacune d'elles doit être infiniment petite. Ainsi on ne peut établir de comparaison entre une force d'impulsion et une force continue, puisque l'effet instantané de la première est fini, tandis que celui de l'autre est infiniment petit. C'est ce que nous aurons occasion de mieux développer par la suite (222, 234).

151. Il arrive souvent que l'intensité de la puissance varie à chaque instant, alors le mouvement éprouve des variations qui dépendent de celles que subit la force. Cherchons la relation qui existe, en général, entre la vitesse et la Force Accélératrice, (c'est ainsi qu'on nomme la puissance dont l'action continue fait varier le mouvement). Soient F et ƒ deux puissances qui par leurs impulsions seroient capables de donner les vitesses Vet ; concèvons le tems partagé en un nombre quelconque n d'intervalles égaux, et supposons que les forces Fet fagissent continuellement, et communiquent leurs impulsions Vet v, à la fin de chacun de ces intervalles. Il est clair que les vitesses engendrées seront successivement V, v; 2 V, 2v; 3V, 3v; ... ainsi au bout du tems & nV et ny seront les vitesses engendrées par l'action continue des puissances. Mais on F V

a (146, 2o.), ƒ f

2

F

nv

= ; ou = ; donc les forces

f

nv

accélératrices constantes sont proportionnelles aux vîtesses qu'elles engendrent pendant des tems égaux, puisqu'ici le tems qui sépare les actions successives est aussi petit qu'on

veut. Soita le rapport constant

f

ny

on a F=

ainsi une force accélératrice constante est mesurée par la vîtesse qu'elle imprimeroit à un mobile sur lequel elle agiroit durant une seule unité de tems: a esti lorsqu'on prend f1 et nv, c'est-à-dire lorsqu'on prend pour unité de force celle dont l'action continue durant une unité de tems seulement, communiqueroit des impulsions telles que le mouvement nniforme qui en résulteroit auroit un pour vîtesse: alors FnV.

152. Comme pour mesurer les puissances, il faut trouver dans le mouvement qu'elles engendrent une quantité qui leur soit proportionnelle, il suit de ce qu'on vient de dire