Les signes des termes sont déterminés d'après les consi- M2 + 2 MR cos a + R2 — N2 ( 1 +ƒ3).` connue. En (qam3 — b3) M2 — 2 MR (b2 cos a+q3mr)=R2 (b2—q3ra); d'où on tire, en résolvant l'équation du second degré M=R.mrq2+b°cosa±b√[q2(m2+2mrcos a+r3)-b3sin3«]; (Am. ; (FIN). .... (Girl). Ces deux équations peuvent se simplifier par une considération particulière comme on ne peut résoudre que par approximation les problêmes relatifs au frottement, on pourra supposer que ba est nul, puisque b est toujours fort Il faut prendre, dans toutes ces formules, le signe supérieur pour le cas où la force M doit être sur le point de prévaloir, et le signe inférieur dans le cas contraire. Lorsqu'on ne fait point entrer le frottement en considération, on peut traiter la question de l'équilibre par la méthode précédente: on voit que sans parler de l'élégance de cette solution, elle a beaucoup plus de généralité que celle qui a été donnée (104), puisqu'on peut y regarder comme inconnues trois quelconques des quantités M, R, a, e, N, m et r. Il nous suffira ici de faire f=0, et nous aurons q∞, d'où M=Rx, N=√( M2 + 2 MR cos « + R2), m l'expression M=RX r m comparée aux équations (H), montre de combien M doit être augmentée pour être sur le point de prévaloir, ou doit être diminuée pour faire seulement équilibre, en ayant égard au frot tement. de cas, Nous avons supposé ici que l'axe ne faisoit pas corps avec le levier; mais il n'en est pas ainsi dans beaucoup tels que dans les canons, mortiers à bombes, etc. Alors cet axe est mobile dans des crapaudines fixes. Il est aisé de voir que le systême est le même que ci-dessus, excepté que le point de contact étant à l'opposite en n, la force fN, qui provient du frottement, doit être appliquée en ce point, et dirigée en sens contraire. Ces considérations font voir que le problème est ici le même que ci-dessus, excepté que ƒ doit y être mis avec un signe différent. Or, comme les résultats que nous venons d'obtenir ne renferment que ƒ1 ils ont encore lieu pour ce cas. 157. Le problème de la poulie avec ou sans frottement, pourroit être résolu de la même manière; mais il est plus simple de faire les deux bras de levier égaux, ou m=r, cette considération change les équations F, G, H, respectivement en M=R. M=R m2q2+b2 cos a±b√[2m2q2 ́1 + cos «) — b2 sin2 «] m2q-ba m2q2 + b2± 2 mbq m3q3 — b2 26 M=R (1± × cosa), M=R (1 ± 26). mq mq 138. On pourroit résoudre le problème du frottement dans le treuil de la même manière; mais ici les forces étant disposées dans l'espace, il faudroit appliquer les six équations (X), (Y), no. 45. L'élimination seroit alors fort laborieuse; et on ́auroit pour résultat une équation du quatrième degré si compliquée, qu'elle ne pourroit être d'aucune utilité. Au reste, on peut appliquer ici, d'une manière assez exacte, ce qui vient d'être dit sur le levier, puisque si on projette tout le systême sur un plan perpendiculaire à l'axe de rotation, on n'a plus à considérer que des forces dans un même plan, appliquées à un levier. Nous ne nous arrêterons pas plus longtems sur cet objet. 139. Traitons maintenant le frottement dans la vis: pour cela, comme on l'a fait (120), supposons d'abord que l'écrou ne touche la vis qu'en un point, et conservons les notations employées dans ce paragraphe. Pour Fig 75 et trouver la force horisontale M propre à retenir le poids Q 76. sur le plan incliné bd, en ayant égard au frottement, il faut avoir recours à l'équation (E"") il faut maintenant remplacer la force auxiliaire M par la force P qui retient en effet le poids de l'écrou en équilibre, en agissant à l'extrémité d'un levier : or, on a PR Mr; donc = Nous sommes parvenus à cette valeur en suivant le procédé employé no. 120; mais comme nous nous sommes servi d'élémens différens, le résultat ne fournit plus la même conséquence: en effet, nous avons supposé, comme au no. 120, que l'écrou et la vis n'avoient qu'un point de contact; mais l'équation (I") n'a pas la propriété de ne pas contenir r, comme la valeur (R"). Nous ne pouvons donc plus employer les considérations dont nous nous sommes servi pour passer au cas où l'écrou touche la vis en plusieurs points. Mais par une hypothèse fort simple, on peut avoir une approximation suffisante; car on peut imaginer que le poids entier de l'écrou soit concentré sur l'une des hélices qu'on pourroit tracer sur la vis. Par exemple, quand il s'agira d'une vis à filet carré, on pourra supposer, sans erreur sensible, que tout le poids est porté par une hélice tracée au milieu de la largeur Tig. 90. du filet. Ainsi on n'aura plus à considérer que des poids portés par une hélice, tracée sur un cylindre, qui a r pour rayon de sa base : la formule (I) reçoit donc son application immédiate; car en continuant les raisonnemens employés no. 120, cette équation ne seroit nullement changée par l'hypothèse d'un nombre indéterminé de points de contact de l'écrou avec la vis, ainsi qu'on l'a observé pour l'équation (R"). III. Roideur des cordes. 140. Comme les cordes ne sont pas parfaitement flexibles, lorsqu'on les emploie dans les machines, il faut augmenter la force qui doit être prépondérante : voici l'idée qu'il faut se faire de cette augmentation. Soient deux poids Pet Q sur une poulie si P prévaut, il est clair que la corde NQ. doit d'une part, se courber en C dans la gorge de la poulie, et de l'autre se déployer, pour devenir verticale en MP. Or, si cette corde étoit absolument rigide, ce double effet n'auroit pas lieu, et d'un côté le poids Q se trouveroit porté verticalement au-dessous de quelque point D de la droite horisontale CB, tandis que de l'autre côté, au contraire, le poids P seroit transporté au-dessous d'un autre point b: et comme le bras du levier de l'une des forces devenant plus grand, celui de l'autre seroit au contraire rendu plus petit, on n'auroit plus PQ pour la condition de l'équilibre. Si la corde n'est qu'en partie rigide, l'effet ci-dessus indiqué n'a pas lieu en entier on a observé même que dans la pratique, le raccourcissement du bras de levier en B étoit sensiblement nul, c'est-à-dire qu'on pouvoit ne pas avoir égard à celui des deux effets, qui est produit par le défaut de flexibilité de la partie BP correspondante au |