Ces trois équations, qui n'équivalent qu'à deux distinctes, servent à déterminer la grandeur et la direction de la résultante, c'est-à-dire, R et e. De plus, ces équations servent encore à la résolution d'une foule de problêmes, car il suffit de connoître deux des quatre quantités P, Q, R et e, ou même deux relations quelconques entre elles, pour assigner les valeurs des deux autres. On tire de ces équations la suivante, qui peut être utile. Q=P tang ◊. Nous aurons recours perpétuellement dans la suite aux expressions (A), car elles servent à changer les forces d'un systême en d'autres qui soient rectangulaires. En effet, pour décomposer une force R en deux autres de directions rectangulaires et connues, il suffit de recourir aux équations PR cos è, QR sine, qui font voir que chaque composante est le produit de la force R par le cosinus de l'angle qu'elle fait avec celle compo sante. On pourroit, il est vrai, employer pour cette décomposition, le parallelogramme des forces (18, III): mais on doit regarder ce théorême plutôt comme une construction graphique propre à peindre aux yeux le résultat et à l'énoncer d'une manière commode, que comme offrant un procédé d'une application facile. Nos formules (A) y sont bien plus propres, puisqu'elles sont conformes à l'esprit algébrique, qui n'admet pas la nécessité de représenter les forces par des lignes (11). C'est pourquoi à l'avenir nous préférerons recourir à ces formules; car comme on peut presque toujours ramener les directions des forces à être perpendiculaires, on évite le désavantage qu'offrent ces équations de ne pouvoir être employées que lorsque les puissances sont rectangulaires. Mais lorsqu'on ne Fig. 9. peut facilement user de ce moyen, on doit recourir aux équations données par l'art. (18, I ). 19. Comme le parallelogramme des forces sert de fondement à toute la mécanique, nous avons cru devoir considérer ce théorême d'une manière purement analytique; ce qui nous a déterminés à reproduire ici la démonstration que nous avions déja donnée dans notre première édition. Premier cas, les forces étant égales. Soient Pet Q deux forces égales, la ligne Az qui divise l'angle PAQ 20 en deux parties égales (15) est la direction de la résultante z cette résultante est d'ailleurs déterminée par et P, elle varie avec ces quantités; donc z=f(P, ). Concevons dans les mêmes directions deux autres forces égales p et q, leur résultante y sera telle que r=f(p, 0), en désignant par f la même fonction, de sorte que f(P, ) devienne f(p, ), en changeant simplement P en p. Comme est constant, nous aurons seulement zƒP, y=fp. = Cela posé, si les forces P et p, Qet q agissent ensemble, on aura pour leur résultante f(p+P); mais elle est aussi +z; donc fp +ƒP=f(p+P): développons, par le théorênie de Taylor, et nous aurons f'p, f"p... désignant des fonctions de p, qui, d'après la notation de Lagrange, sont les coefficiens différentiels successifs de fp. Le second membre de cette équation identique doit être indépendant de p, car elle établiroit une relation entre Pet p, ce qui est contraire aux hypothèses : donc f'p, f"p.... sont indépendans de p, ou constans. Mais f'p a donne ƒ"p.... nuls, ainsi ƒP = z=aP: ce qui veut dire que la résultante z varie proportionnellement = aux composantes, lorsque l'angle est constant. Comme a dépend de e, nous avons donc Pour trouver, décomposons la force P en deux autres x et y dirigées suivant les deux ligues Ax et Ay qui font avec AP deux angles quelconques égaux à : il est clair qu'on a de même P=x.q; disons-en autant pour Q. Nous avons donc quatre forces égales à x, qui ont la même résultante z que P et Q, et qui font avec Az des angles égaux à + e et ε; x et x' ont pour résultante x.4(+); celle de y ety' est x. (-): donc (Ce qui suit est de M. PoisSON). Développant, on a On peut voir, comme ci-dessus, que puisque n'entre pas dans le premier membre, " φιτο sont in фо φθ dépendans de ◊, c'est-à-dire, constans: ainsi "e=a.40; d'où, en différentiant, qvea.q" a2.00.... et ainsi de suite. Donc Or il est clair que ce développement est celui du cosinus de l'arc VE 1 a: donc 2 cos (ε √ — a), et comme a est une constante indéterminée, nous remplacerons -a par b et nous aurons z=2P cos (be). Pour déterminer la constante b, attribuons aux forces des directions telles que = , désignant la demi b aurons circonférence dont le z 2 P cos è. Deuxième cas. Les forces étant à angle droit. Soient Fig. 8. Pet Q les forces, et AR la direction de leur résultante. Menons IK tel que l'angle DAI=PAR=0; KAQ sera aussi égal à QAR et complément de ◊. Cela posé, on pourra remplacer la force P par deux autres dirigées suivant AI et AR; l'équation précédente donne ; de même pour la valeur de ces composantes Р 2 cos Les forces Pet Q seront donc remplacées par quatre autres, dont deux opposées devront se détruire pour que AR soit la frésultante; les deux autres s'ajoutent (10). Donc on a d'un côté P sin = Q cos, ou Q=P tang 0; et de l'autre P=R_cos &, ୧ = R sin 0. = = Or si on prend sur AP et AQ des parties AD et AH proportionnelles à Pet Q, en achevant le rectangle AHGD, on obtient dans le triangle AGD, DG — AD tang ◊′, AD AG cos e', en désignant par e' l'angle formé par la diagonale AG et le côté. La première de ces équations devient Q P tang '; donc '; la seconde donne P=AG cost, d'où R= AG. Ce qui prouve que la résultante est représentée en grandeur et en direction par la diagonale du rectangle. = Troisième cas. Les forces étant quelconques. Soient Fig. ro. encore Pet Q les forces faisant entre elles l'angle, et AR leur résultante formant avec ces forces les angles et. Décomposons la force Q en deux autres dirigées suivant AK et AP à angle droit; elles seront Q sin a et Q cos a. Par là on doit composer les deux forces rectangulaires sin a et P+Q cosa. L'équation QR sine trouvée ci-dessus devient ici Qsin &=Rsin . Or on peut visiblement y changer Q en P, et ◊ en ɛ: Du reste en prenant AH et AD proportionnels à P et Q, il est visible que si on forme le rectangle KL sur AH, et si on fait DIAL, la diagonale AG du rectangle KI représentera la résultante des deux forces rectangulaires qui remplacent P et Q: mais HADG est un parallelogramme; donc la résultante cherchée est représentée par cette diagonale; ce qui reproduit le théorême (17). III. Des forces qui concourent en un même point. 20. Pour déterminer la résultante de tant de forces ⭑ qu'on voudra, quand elles concourent en un même point, on se servira du théorême précédent; on composera ensemble deux de ces forces, et on leur substituera leur résultante (9); on combinera de même celle-ci avec l'une des autres forces, et ainsi de suite. A chaque opération on aura une force de moins dans le systême, et par là on réduira toutes les forces à une seule, qui sera hulle dans le cas d'équilibre. La mênie considération sert à trouver la résultante lorsque les forces sont dans le même plan et |