Fig. 11.

en

suivant la même droite est égale à leur somme, prenant ici le mot Somme dans le sens qu'on lui attribue en algèbre.

Lorsque les composantes ont des directions différentes, comme les forces P, Q, R.... (fig. 11), il est plus difficile d'obtenir leur résultante. Nous allons avant tout poser quelques principes qui serviront à cette recherche. * 13. Dans tout systéme de forme invariable, on peut prendre pour point d'application de chaque puissance, l'un quelconque de ceux de sa direction. Car si en un point de la direction d'une force P on applique deux forces qui lui soient égales et qui soient opposées entre elles (8), comme les distances du systême sont invariables, l'une de ces forces détruira la puissance P (5); la secondé restera seule et ne sera autre chose que la force P transportée en un autre point de sa direction, point qui d'ailleurs est quelconque.

* Il suit de là que lorsqu'un obstacle fixe est placé sur la direction d'une force, elle la détruit, puisqu'on peut la supposer appliquée à l'obstacle même.

Fig. 1.

14. Soient deux forces P et Q quelconques; comme Q'ne tend qu'à faire passer le point mobile A en-dessous de AB, et que de même P élève ce point en dessus de AC, il devra, comme on voit, se mouvoir dans l'angle PAQ; donc (9) cet angle contiendra la direction de la résultante.

Soit AR la direction de la résultante R de deux forces Fig. 3. quelconques Pet Q; si Q croit et devient Q+q, on composera d'abord Q avec P, et ensuite (9) leur résultante R avec q: et comme la nouvelle résultante S doit être située dans l'angle RAQ, on voit que lorsque l'une des deux forces croit seule, la résultante fait avec elle un angle moindre.

prendre ces droites suivant les directions mêmes des forces, et de déterminer sur ces lignes deux parties AB et AC qui soient entre elles dans le même rapport que ces forces,

Comme il est indifférent de faire entrer les forces dans le calcul en les représentant par des nombres ou par des lignes, nous préférerons dans la suite le premier moyen; car en regardant les forces comme des nombres abstraits on fait une chose plus conforme au génie de l'algèbre, qui veut que toutes les grandeurs soient rapportées à une unité, et ne soient plus traitées que d'une manière purement abstraite. En représentant au contraire les forces par des lignes, on traite la théorie sous une forme plutôt géométrique qu'algébrique. Ainsi donc on ne devra pas oublier, dans le petit nombre de cas où les forces seront représentées par des lignes, que ce procédé graphique n'est nullement nécessaire, et qu'on ne l'emploie que pour énoncer certains résultats sous la forme qui leur est

consacrée.

12. Le problême de la composition des forces, lorsqu'elles ont même direction, est renfermé dans ce qu'on a dit (10); car en considérant les forces deux à deux, il est facile d'en conclure que plusieurs forces qui agissent suivant une même droite, équivalent à une seule égale à leur somme si elles agissent toutes dans le méme sens ; ou égale à l'excès de la somme de celles qui agissent dans un sens, sur la somme de celles qui agissent en sens opposé. Cet énoncé peut être simplifié par une considération particulière : car si on regarde les forces qui agissent dans un même sens comme positives, et celles qui agissent en sens opposé comme négatives, on pourra dire que la résultante de plusieurs forces qui agissent

>

et le côté AH est double de AD. De même si Q est triple de P, en prenant q'2 P et q=P; dans le parallelogramme CD, AC sera double de AD; et comme HB sera encore un rhombe, on aura AH triple de AD. Si Q 4P, on fera q'3 P, q=P, et par conséquent AC=3x AD; d'où AH=4× AD. En général si Q=nP, on a AH=nx AD.

Mais si Pna et Q=2a, on fera q=q' = a; le parallelogramme CD, d'après ce qu'on vient de dire, devra avoir AD=n.AC; de même HC sera = AC :

Si Pna et Q=3a, on fera q =2a et q = « : la longueur AC devra satisfaire à la condition ci-dessus

Fig. 5.

Ainsi on prendra en général sur les directions des forces Pet Q des parties AD, AH qui leur soient proportionnelles, on achèvera le parallelogramme HD; la diagonale AG sera la direction de la résultante cherchée (*).

Si les forces Pet Q étoient incommensurables entre elles, ce théorême auroit également lieu; car soit, s'il est possible, 40 cette résultante. Prenons entre 0 et G un point I tel que AD et DI soient commensurables. Le parallelogramme DK auroit la diagonale AI pour la

(*) Cette démonstration est de M. Duchayla, no. 4 de la Correspondance de l'Ecole Polytechnique.

direction de la résultante de deux forces dont l'une seroit P et l'autre moindre que Q; ce qui est absurde (14).

17. Quant à l'intensité de la résultante, pour la trouver, appliquons sur le prolongement AK de la diagonale AG Fig. 6. une force S égale à la résultante R; les puissances P, Qet S seront en équilibre. Mais on peut regarder cet état comme produit par la force Q entre les puissances Pet S; d'où il suit que AH doit être le prolongement de la diagonale du parallelogramme construit sur des lignes proportionnelles à P et à S. Si donc on forme sur AD le parallélogranime DK, les longueurs AD et AK seront entre elles comme les forces P et S. Or DI=AG=AK; donc AD, AH et AG sont proportionnelles aux forces

En rapprochant ce théorême du précédent, on voit ⭑ que la résultante de deux forces est représentée en grandeur et en direction par la diagonale du parallelogramme construit sur des longueurs proportionnelles à ces forces et prises sur leurs directions.

18. Il suit de là divers corollaires importans.

I. La proposition ci-dessus

P

Q R

=

AD AH AG

peut être mise sous une autre forme, en remplaçant les Fig. to. trois côtés du triangle ADG par les sinus des angles opposés DGA, DAG et ADG, ou RAQ, RAP et PAQ. Soient donc représentés par, et a les angles formés respectivement par R avec Pet Q, et par celles-ci entre elles, nous aurons

Done trois forces qui sont en équilibre, ou deux composantes et leur résultante, sont telles, que chacune

*

est proportionnelle au sinus de l'angle formé par les directions des deux autres, et peut être remplacée par ce sinus.

II. La direction de la résultante de deux forces ne dépend que de leur rapport, de sorte que si on fait varier ces forces proportionnellement, on ne changera nullement cette direction. On voit de plus que si les composantes Pet Q deviennent mP, mQ, leur résultante R devient mR, quel que soit m. Donc trois forces en équilibre y demeureront lorsqu'on les fera varier proportionnellement. Ce qui sera dit (20), prouvera que ces théorêmes ont encore lieu pour un nombre quelconque de forces qui concourent en un point.

7

III. Le problême de la composition de deux forces ou de la décomposition d'une force en deux autres, est réduit à la formation d'un parallelogramme dont on connoît certaines parties.

* IV. Si les forces Pet Q sont égales entre elles, le Fig. 7. parallelogramme devient un rhombe HADG, et les

diagonales HD et AG sont perpendiculaires; en désignant par le demi-angle formé par les forces, on a AE AD cos α, d'où AG= 2 AD cosa; or AG et AD sont proportionnels à R et P; donc

R2 P cos α.

V. Si les directions des forces P et Q sont à angle droit, Fig. 8. le triangle rectangle ADG donne AGAD2 + GD", AD AG cos, DG AG sin e, en désignant par e l'angle que les forces Pet R forment entre elles. Remplaçons AG, AD et DG par les quantités R, Pet Q qui leur sont proportionnelles, nous aurons

R2 = P2 + Q2

PR cos, QR sin e