courbe de même longueur terminée aux mêmes points Cet C'. En effet, le centre de gravité étant dans la chaînette le plus bas possible, la circonférence que décrira ce centre sera aussi la plus longue, et la règle de Guldin donnera (80) pour la surface courbe une plus grande quantité.

Concevons une voûte en équilibre composée de petites sphères qui se touchent, et joignons les centres de ces sphères par des lignes droites. Imaginons ensuite que la direction de la pesanteur de ces sphères change tout-à-coup et se fasse en sens contraire, et que les sphères soient liées ensemble par des fils ou autrement, de manière qu'elles ne puissent pas obéir à l'impulsion verticale de la pesanteur; il est visible que l'équilibre ne sera point troublé, puisque des puissances qui sont en équilibre continuent d'y être lorsque, sans changer ces puissances, on ne fait que leur donner à toutes des directions contraires. Il est visible de plus que dans ce cas la voûte devra former une chaînette, que les pieds-droits de cette voûte seront les points fixes, et qu'il n'y aura d'autre différence que dans le renversement de la figure; donc la volte, pour être en équilibre, devoit avoir la figure de la chaînette.

93. Il résulte de ce qu'on a dit précédemment, qu'on Fig. 4. ne peut tendre une corde pesante en ligne droite, si ce

n'est verticalement; car le poids de la corde peut être assimilé à une force appliquée au centre de gravité : or, soit ADC le cordon retenu par les deux forces P et Q; soit R le poids de ce cordon, on a

Or, plus la corde est tendue, plus l'angle ADC est grand, et plus aussi BDC approche de l'angle droit ; de sorte que

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tant que R n'est pas nul. Ainsi quelque petite que soit la force R, elle fera courber la corde. C'est ce que l'expérience confirme tous les jours.

94. Soit un cordon ADC fixé en ses extrémités A et ⋆ C, et passé dans un anneau mobile le long de ce cordon. Fig. 45. On voit que cet anneau est assujetti à décrire une ellipse KDL dont A et Csont les foyers, et AD + DC le grand axe KL: si donc une puissance R agit sur l'anneau à l'aide dú cordon BD, elle devra être normale à cette ellipse (97), pour que l'équilibre ait lieu, c'est-à-dire que BD devra diviser l'angle ADC formé par les rayons vecteurs en deux parties égales; d'où il suit que les tensions Pet Q ́ des cordons AD et DC doivent être égales. Si donc deux forces Pet Q agissent à l'extrémité d'un cordon ADC, passé dans un anneau ou nœud coulant D, retenu par une force R, voici les conditions de leur équilibre: 1o. la droite DB doit diviser l'angle ADC en deux également, ct 2°. les forces P et Q doivent être égales. Il résulte de là que si une corde, aux extrémités de laquelle deux forces P' et P+) agissent, est courbée sur un polygone solide P'M'M"M"".... il faut, pour qu'il y ait Fig. 41. équilibre, que ces deux forces soient égales; car on peut regarder les angles M', M"... du polygone comme autant d'anneaux fixes.

Soient A et B les deux points de suspension d'un Fig. 45 bis. cordon AEB auquel est attaché un poids Q, ayant un noeud coulant ou un anneau en son point d'attache E avec le cordon cherchons les conditions d'équilibre de ce systême, dont on trouve un exemple dans les Réverbères destinés à éclairer les rues.

:

Fig.

Menons l'horisontale AC et la verticale CBH, AC et CB sont connus, ainsi que la longueur AEB du cordon=h Puisque QEG partage l'angle AEB en deux parties égales, les angles H et GEB sont égaux : ainsi le triangle EBH est isocèle, et HEEB, enfin AH=h. Donc si de A comme centre et d'un rayon — =h, on trace un arc de

cercle, il coupera CH au point H, tel que la perpendiculaire EF, élevée sur le niilieu de BH, déterminera le point E de suspension du poids Q: cette construction résout donc graphiquement le problême proposé. On peut en trouver aisément une solution analytique.

II. De l'équilibre d'un corps qui ne peut se mouvoir que sur une ligne, ou une surface et en particulier sur un Plan incliné.

95. Il est évident qu'une force N, de direction perpendiculaire à un plan AB, sollicitant un point matériel, est entièrement détruite par la résistance du plan, puisqu'il n'y a pas de raison pour que ce point se meuve dans un sens plutôt que dans un autre. Réciproquement, pour qu'une force unique sollicitant un point matérie] sur un plan le laisse immobile, il faut qu'elle soit de direction perpendiculaire à ce plan; car si cette force étoit comme P", dirigée obliquement, on pourroit la décomposer en deux autres, l'une dans le sens même du plan, et l'autre de direction perpendiculaire au plan; la première pouvant produire entièrement son effet, le point obéiroit à son action, ce qui est contre l'hypothèse.

Donc un corps pesant, placé sur un plan, n'y peut être en équilibre que lorsque ce plan est horisontal, puisque la direction de la gravité est verticale.

Donc aussi pour qu'un systême de forces retienne un point matériel en équilibre sur un plan, il est nécessaire

et fl suffit que la résultante de ces forces soit perpendi culaire à ce plan. Si donc on prend ce plan pour celui des xy, et si on cherche la résultante de toutes les forces, comme il a été dit. (24), les équations (1) de la résultante devront être réduites à x=x' et y=y': ainsi il y a deux conditions X=0, Y =

= 0.

Comme on n'a le plus souvent que deux forces Pet P", ⋆ il convient d'examiner ce cas en particulier comme il faut que leur résultante soit perpendiculaire au plan, on voit d'abord que le plan des forces doit être perpendiculaire au plan donné. De plus, si on décompose chaque force en deux, l'une dans le sens du plan, et l'autre qui lui soit perpendiculaire, il faut que les deux composantes dans le sens du plan soient opposées et égales. De ces deux conditions, la première est satisfaite, puisque le plan des forces est perpendiculaire au plan donné : quant à la seconde, soit la figure 46 le plan des forces, et AB son intersection avec le plan donné. Nommons et les angles que forment les directions des forces avec ce plan : les composantes qui lui sont perpendiculaires (18, V) sont P' sin et P sin ; on a pour les composantes dans le sens du plan P' cos e et P" cos"; donc

Pcos e P" coś ".

Ainsi il faut ici pour l'équilibre deux conditions; la ⋆ première exige que le plan des forces soit perpendiculaire au plan donné; la seconde est renfermée dans l'équation (C"). Quant à la pression qu'éprouve le plan, elle est la somme des composantes qui lui sont perpendiculaires: soit N cette pression, on a

, et observant

que sin e. cos '+cos "sin e' sin (0'+"), on trouvé la valeur de la pression dans le cas d'équilibre.

pour

Tig. 46.

A

96. Appliquons cette théorie à la pesanteur. On appelle PLAN INCLINE celui qui forme avec un plan horisontal un angle quelconque, et l'inclinaison se mesure par cet angle: c'est celui que forment entre elles deux droites menées dans chacun de ces plans par un point quelconque de leur ligne d'intersection, perpendiculairement à cette ligne. Puisque P'une des deux forces est ici verticale, et que l'équilibre a lieu, le plan des forces est vertical, et de plus, perpendiculaire au plan incliné : ainsi 'il doit couper ce plan, et le plan horisontal suivant deux droités AB et AC, formant entre elles l'angle même des deux plans. Soit M si on abaisse une verticale BC le point matériel pesant; d'un point B de la ligne AB, elle sera contenue dans le plan de là figure qui est vertical : on nomme AC la 'base', BC la hauteur, et AB la longueur du plan incliné. Soient donc deux forces, l'une P de direction verticale, représentant le poids du point mobile M, l'autre P" destinée à retenir ce poids en équilibre sur le plan incliné désignons par l'angle d'inclinaison A. Puisque P'M est, par hypothèse, perpendiculaire sur AC, dans le triangle MAD on a cos e sin, et l'équation (C")

devient

*

Mais outre cette condition, il faut que le plan vertical conduit suivant P" soit perpendiculaire au plan incliné.

Quant à la pression qu'éprouve le plan incliné, la valeur (D") devient

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