course du piston; lorsque l'eau sera montée à la hauteur a- (I -k) h, elle ne pourra plus s'élever au-delà a de sorte que si la hauteur EH de la soupape dormante au-dessus du réservoir RS est plus grande ou même égale à cette quantité, de nouveaux coups de piston ne la feront plus élever. Cela résulte de ce que l'air dilaté du corps de pompe n'ayant pas alors un ressort moindre que celui du tuyau KN, la soupape E ne s'élève pas et la densité KN reste la même. On voit aussi qu'il faut soit <h, même lorsque k n'est pas nul. que a 321. Supposons que la soupape dormante soit au niveau RS, ou même au-dessous, ou entre Het K ; qu'on soit parvenu à faire monter l'eau au-dessus de cette soupape, et qu'on veuille continuer de l'élever. Conservons les dénominations précédentes. Lorsque le piston est baissé, l'air qui est renfermé au-dessous est dans l'état naturel; les formules (1) et (2) ont donc encore lien ici, en faisant het changeant le signe de y et y': c'est au reste ce dont on peut s'assurer par les raisonnemens précédens; ainsi on a x= Si le tuyau d'aspiration et le corps de pompe ont mêmes diamètres, ces formules sont applicables dans toute l'étendue de la colonne fluide, ainsi on peut calculer les dilatations successives de l'air et les ascensions corres 2he + pondantes de l'eau, comme précédemment : mais si les diamètres sont différens, on appliquera les formules (3) tant que l'eau n'aura pas atteint le point de jonction du tuyau d'aspiration au corps de pompe: après quoi prenant ce point pour origine des y, y', a, E et e, les mêmes formules seront applicables aux ascensions de l'eau dans le corps de pompe, pourvu que s en désigne la section c'est ce dont on peut aisément s'assurer. Ceci donne l'ascension de l'eau au-dessus de la soupape dormante E lorsqu'elle est placée en ce point de jonction. 322. Le fluide cessera de monter si on a dans quelques (esy) h cas r'=y, ce qui donne by sy = E d'où sy? (Eas) eh- Eb. Tant que cette équation est impossible, le fluide doit monter; mais conime elle a ses racines réelles lorsque (sa+E) est >4sh (E-e), on a deux points entre lesquels l'ascension de l'eau cesse d'avoir lieu alors le carré de la moitié du volume OH est plus grand que h x volume OD ou 32 fois le volume. décrit par le mouvement du piston. Fin de l'Hydrostatique. LIVRE IV. HYDRODYNAMIQUE. I. De l'Ecoulement des fluides par des orifices horisontaux. 523. Ox sait que lorsqu'un fluide pesant et incompres sible sort d'un vase par une ouverture faite au fond ou aux parois, sa surface demeure toujours horisontale, au moins sensiblement, en supposant que les parois du vase conduisent à l'orifice sans rompre la loi de continuité, et en faisant abstraction de la cause qui produit au-dessus de l'orifice une espèce d'entonnoir, quand la surface du fluide est très-proche de l'orifice. Il résulte de là que, si on conçoit une infinité de tranches horisontales dans le fluide, elles conserveront en s'abaissant leur parallélisme; et que de plus, chaque point d'une même tranche descend verticalement, en faisant abstraction des molécules qui sont près des parois courbes ou inclinées, parce que leur nombre est infiniment petit par rapport à celui des autres, points de la tranche. Nous supposerons donc ici, d'après, ces raisonnemens, comme un fait dû à l'expérience, que lorsqu'un fluide s'écoule d'un vase CApqB par un orifice. Fig. 138, horisontal pq, toutes les tranches horisontales du fluide conservent en s'abaissant leur parallélisme, de sorte que tous les points d'une même tranche ont la même vitesse 1 verticale. Et pour rendre cette hypothèse plus conforme aux observations, nous regarderons la distance entre la surface supérieure AB du fluide et l'orifice pq comme assez considérable pour que la surface ne présente pas l'entonnoir dont on a parlé. La figure de la paroi intérieure du vase est supposée connue et donnée par son équation en x, y et z; les z étant comptés sur la verticale Ck qui passe par l'orifice pq, et l'origine étant en un point quelconque C. Toute section horisontale du vase, telle que TV=%, aura donc une figure déterminée en fonction de CQz: il en est de même de la surface supérieure AB÷K du fluide, laquelle peut être constante ou varier avec (CR=1; on connoît aussi l'aire pq=k de l'orifice, que nous supposons être une section du vase répondant à la hauteur Rk=h, ou à l'abscisse Ckl+h. Si on conçoit le fluide partagé en une infinité de tranches horisontales ABba, il faudra, par hypothèse, que toutes les molécules qui composent l'une de ces tranches aient la même vitesse verticale; soit celle de la tranche quelconque TV pour laquelle CQ=z et TV —§: v, est fonction de x et t. Toutes ces tranches agissent les unes sur les autres dans toute l'étendue Rk; en sorte que si la vitesse des unes est accélérée par le poids de celles qui sont au-dessus d'elles, la vitesse de celles-ci est diminuée par les autres dont l'écoulement ne se fait pas avec la même rapidité que si le fluide tomboit librement. Nous désignerons par u la vitesse du fluide qui s'écoule, au bout du tems t, par l'orifice pq; u n'est fonction que de t; et par p la pression verticale exercée de haut en bas à la surface TV, au même instant: cette pression est rapportée à l'unité de surface (268). La nature du problême que nous nous proposons de résoudre comporte deux sortes de variations qu'il est important de bien distinguer. Tantôt on a pour but de considérer les espaces décrits par une molécule dans des tems successifs; nous affecterons du signe les intégrales que cette circonstance introduira; tantôt aussi on considère, au même instant, deux molécules de la masse fluide, déterminées par des valeurs de z différentes : nous emploierons la caractéristique S pour désigner les intégrales qui se rapportent à ce cas, et qui sont uniquement relatives à la forme du vase, et absolument indépendantes du tems et du mouvement. 324. Cette notation établie, considérons le mouvement de la tranche VT au bout du tems t; la vitesse de cette tranche s'accroîtra de dv dans l'instant de qui suit, dv dt ou plutôt dt, puisqu'ici on ne considère que la variation que éprouve lorsqu'il s'agit d'une même tranche de fluide. Or, s'il n'y avoit aucune action des molécules les unes sur les autres, l'accroissement de vitesse seroit gdt; d'où il suit que durant le tems de la tranche 1' perd, en vertu de cette action mutuelle, la vitesse... dv dt. Par le principe de d'Alembert (229) si chaque tranche n'étoit mue que par la force verticale dv g dt l'équilibre auroit lieu pour exprimer cette condition, il faut recourir à l'équation (6, 270) et faire X=0, L'intégrale doit être prise depuis la surface AB du fluide |